📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Để xác định chiều cao của một tòa tháp viễn thông $CD$ (với $D$ là chân tháp nằm trên mặt đất bằng phẳng), người ta chọn hai điểm quan sát $A$ và $B$ trên mặt đất sao cho $A, B, D$ thẳng hàng ($B$ nằm giữa $A$ và $D$) và khoảng cách $AB = 50\text{ m}$. Dùng giác kế, người ta đo được góc nâng nhìn lên đỉnh tháp $C$ từ $A$ và $B$ lần lượt là $\widehat{CAD} = 30^\circ$ và $\widehat{CBD} = 60^\circ$. Chiều cao của tòa tháp $CD$ bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải các bài toán thực tế đo chiều cao gián tiếp hoặc đo khoảng cách hai vị trí không tới được, ta vận dụng linh hoạt các hệ thức trong tam giác:
- Tính chất góc ngoài: Trong $\Delta ABC$, góc ngoài tại đỉnh $B$ là $\widehat{CBD} = \widehat{CAB} + \widehat{ACB} \implies \widehat{ACB} = \widehat{CBD} – \widehat{CAB}$.
- Định lý sin hoặc tính chất tam giác đặc biệt: Nếu tam giác có hai góc bằng nhau thì đó là tam giác cân, từ đó suy ra độ dài cạnh xiên $BC = AB$.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông $CDB$ vuông tại $D$, ta có cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đối: $CD = BC \cdot \sin\widehat{CBD}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét tam giác $ABC$ để tìm cạnh $BC$
Vì ba điểm $A, B, D$ thẳng hàng nên góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABC$ là $\widehat{CBD} = 60^\circ$.
Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có: $$\widehat{ACB} = \widehat{CBD} – \widehat{CAB} = 60^\circ – 30^\circ = 30^\circ$$
Do $\widehat{CAB} = \widehat{ACB} = 30^\circ$ nên tam giác $ABC$ là tam giác cân tại đỉnh $B$.
Suy ra độ dài cạnh $BC$ bằng: $$BC = AB = 50\text{ m}$$
Bước 2: Tính chiều cao $CD$ của tháp
Vì tòa tháp thẳng đứng vuông góc với mặt đất nên tam giác $CDB$ vuông tại $D$. Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $CDB$, ta có: $$CD = BC \cdot \sin \widehat{CBD} = 50 \cdot \sin 60^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\text{ m}$$
Tính giá trị số: $$CD = 25\sqrt{3} \approx 25 \cdot 1{,}73205 = 43{,}301…\text{ m}$$
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta thu được chiều cao tháp là $43{,}3\text{ m}$.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 43,3
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Để đo chiều cao của một ngọn hải đăng $CD$ ($D$ là chân hải đăng), người ta đặt hai điểm quan sát $A$ và $B$ thẳng hàng với $D$ trên bãi cát sao cho khoảng cách $AB = 40\text{ m}$ ($B$ nằm giữa $A$ và $D$). Từ $A$ và $B$, góc nâng nhìn lên đỉnh $C$ lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$. Tính chiều cao $CD$ của ngọn hải đăng theo mét (làm tròn đến hàng phần mười).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Trong $\Delta ABC$, ta có góc ngoài $\widehat{CBD} = 45^\circ \implies \widehat{ACB} = 45^\circ – 30^\circ = 15^\circ$.
Áp dụng định lý sin trong $\Delta ABC$:
$$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 15^\circ} \implies BC = \frac{40 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} = 20(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{ m}$$
Trong tam giác vuông $CDB$, $CD = BC \cdot \sin 45^\circ = 20(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20(\sqrt{3}+1) \approx 54{,}64…\text{ m}$.
Làm tròn đến hàng phần mười được $54{,}6\text{ m}$.
👉 Đáp số: 54,6
Bài tập 2: Hai trạm quan sát bờ biển $A$ và $B$ cách nhau $600\text{ m}$. Từ hai trạm, nhân viên quan sát một con thuyền $C$ trên biển và đo được các góc $\widehat{CAB} = 75^\circ$ và $\widehat{CBA} = 45^\circ$. Tính khoảng cách từ trạm $A$ đến con thuyền $C$ theo mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Xét tam giác $ABC$, ta có:
$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ$$
Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{AC}{\sin \widehat{B}} = \frac{AB}{\sin \widehat{C}} \implies AC = \frac{AB \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{600 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{600\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 200\sqrt{6} \approx 489{,}897…\text{ m}$$
Làm tròn đến hàng đơn vị thu được $490\text{ m}$.
👉 Đáp số: 490
Bài tập 3: Một cây cầu dự định bắc qua một khúc sông từ điểm $A$ đến điểm $B$. Một kỹ sư đứng tại vị trí $C$ cùng bên bờ với $A$ cách $A$ một khoảng $120\text{ m}$. Kỹ sư đo được các góc $\widehat{CAB} = 105^\circ$ và $\widehat{ACB} = 45^\circ$. Tính độ dài nhịp cầu $AB$ dự kiến bắc qua sông theo mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Trong tam giác $ABC$, ta tính góc tại đỉnh $B$:
$$\widehat{ABC} = 180^\circ – (105^\circ + 45^\circ) = 30^
Để lại phản hồi