📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho tam giác $ABC$ có độ dài hai cạnh $AB = 5$, $AC = 8$ và số đo góc $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về tam giác có ba cạnh 7, 8, 5 hoặc tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa, ta vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng trong tam giác:
- Định lý côsin: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A$.
- Công thức tính diện tích: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4R} = p \cdot r$, tương tự dạng bài tính diện tích tam giác theo góc xen giữa.
- Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = 2R \implies R = \frac{a}{2\sin A}$, áp dụng định lý sin và bán kính ngoại tiếp.
- Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \frac{S}{p}$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta có $c = AB = 5$, $b = AC = 8$, $\widehat{A} = 60^\circ$.
Xét mệnh đề a): Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$:$$a^2 = BC^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A = 8^2 + 5^2 – 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 – 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 – 40 = 49$$Suy ra $BC = \sqrt{49} = 7$. Do đó, mệnh đề a) Đúng.
Xét mệnh đề b): Diện tích tam giác $ABC$ là:$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$Mệnh đề đưa ra kết quả $20\sqrt{3}$ là sai. Do đó, mệnh đề b) Sai.
Xét mệnh đề c): Áp dụng định lý sin:$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{7}{2\sin 60^\circ} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$Do đó, mệnh đề c) Đúng.
Xét mệnh đề d): Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 5}{2} = 10$$Bán kính đường tròn nội tiếp là:$$r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$$Do đó, mệnh đề d) Đúng.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $b = 3$, $c = 8$ và góc $\widehat{A} = 60^\circ$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• a) $a^2 = 3^2 + 8^2 – 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 64 – 24 = 49 \implies a = 7$. (Đúng)
• b) $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}$. (Đúng)
• c) $R = \frac{a}{2\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. (Đúng)
• d) $p = \frac{7 + 3 + 8}{2} = 9 \implies r = \frac{S}{p} = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• a) $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 100 = c^2$, suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $C$, không phải tại $A$. (Sai)
• b) $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. (Đúng)
• c) Vì tam giác vuông tại $C$ nên cạnh huyền $c = 10 \implies R = \frac{c}{2} = 5$. (Đúng)
• d) $p = \frac{6+8+10}{2} = 12 \implies r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$. (Sai)
👉 Kết luận: a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 3: Cho tam giác $ABC$ có $b = 4$, $c = 6$ và $\widehat{A} = 120^\circ$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• a) $a^2 = 4^2 + 6^2 – 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 36 – 48\left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76 \implies a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. (Đúng)
• b) $S = \frac{1}{2}bc\sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. (Đúng)
• c) $R = \frac{a}{2\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{19}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{57}}{3}$. (Đúng)
• d) $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{57}}{19}$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 4: Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• a) $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$. (Đúng)
• b) Áp dụng Heron: $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$. (Đúng)
• c) $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$. (Đúng)
• d) $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8{,}125 \ne 8$. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Để lại phản hồi