📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) thỏa mãn $\cos\alpha = -\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $P = \frac{\tan\alpha + 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha}$ bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ và $\alpha \ne 90^\circ$, ta có các hệ thức lượng giác cơ bản:
- $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
- $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ (với $\cos\alpha \ne 0$)
- $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ hay $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$
- Phương pháp biến đổi biểu thức: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với $\tan\alpha$ để quy về biểu thức chỉ chứa $\tan^2\alpha$, sau đó sử dụng công thức liên hệ giữa $\tan^2\alpha$ và $\cos^2\alpha$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Do $\cos\alpha = -\frac{2}{3} \ne 0$ nên $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ xác định.
Ta biến đổi biểu thức $P$ bằng cách nhân cả tử số và mẫu số với $\tan\alpha$ (chú ý $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$):
$$P = \frac{\tan\alpha + 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} = \frac{\tan\alpha\left(\tan\alpha + 3\cot\alpha\right)}{\tan\alpha\left(\tan\alpha + \cot\alpha\right)} = \frac{\tan^2\alpha + 3}{\tan^2\alpha + 1}$$
Mặt khác, theo công thức lượng giác cơ bản:
$$\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$$
Suy ra:
$$\tan^2\alpha = \frac{9}{4} – 1 = \frac{5}{4}$$
Thay $\tan^2\alpha = \frac{5}{4}$ vào biểu thức của $P$, ta được:
$$P = \frac{\frac{5}{4} + 3}{\frac{9}{4}} = \frac{\frac{17}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{17}{9}$$
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $\cos\alpha < 0$. Tính giá trị của biểu thức $E = \frac{\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\tan\alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $\cos^2\alpha = 1 – \sin^2\alpha = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
Vì $\cos\alpha < 0$ nên $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.
Suy ra $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
Khi đó: $E = \frac{\frac{3}{5} – 2\left(-\frac{4}{5}\right)}{-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{5}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{44}{15}$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ$) thỏa mãn $\tan\alpha = -2$. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{4\sin\alpha + \cos\alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $\tan\alpha = -2$ nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của biểu thức $M$ cho $\cos\alpha$, ta được:
$$M = \frac{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} – 5}{4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 1} = \frac{3\tan\alpha – 5}{4\tan\alpha + 1}$$
Thay $\tan\alpha = -2$ vào biểu thức:
$$M = \frac{3(-2) – 5}{4(-2) + 1} = \frac{-6 – 5}{-8 + 1} = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}$$
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $S = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \dots + \sin^2 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng tính chất hai góc phụ nhau ($a + b = 90^\circ \Rightarrow \sin a = \cos b$):
$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ \Rightarrow \sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ = \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1$.
Tương tự:
$\sin^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ = 1$
$\sin^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ = 1$
$\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = 1$
Do đó tổng $S = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thỏa mãn $\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Giá trị của biểu thức $Q = \sin\alpha \cdot \cos\alpha$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Bình phương hai vế của đẳng thức $\sin\alpha – \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, ta được:
$$(\sin\alpha – \cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2$$
$$\Leftrightarrow \sin^2\alpha – 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{5}{9}$$
$$\Leftrightarrow 1 – 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{5}{9}$$
$$\Leftrightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 – \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow Q = \sin\alpha\cos\alpha = \frac{2}{9}$$
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 5: Với góc $\alpha$ tùy ý ($0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ$), giá trị của biểu thức $K = \sin^2(180^\circ - \alpha) + \cos^2(180^\circ - \alpha) + \tan(180^\circ - \alpha)\cot(180^\circ - \alpha)$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ($180^\circ – \alpha$ và $\alpha$):
$\sin(180^\circ – \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(180^\circ – \alpha) = -\tan\alpha$ và $\cot(180^\circ – \alpha) = -\cot\alpha$
Khi đó:
$\sin^2(180^\circ – \alpha) + \cos^2(180^\circ – \alpha) = \sin^2\alpha + (-\cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$\tan(180^\circ – \alpha)\cot(180^\circ – \alpha) = (-\tan\alpha)(-\cot\alpha) = \tan\alpha\cot\alpha = 1$
Vậy $K = 1 + 1 = 2$.
👉 Chọn đáp án: C
Để lại phản hồi