📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một mỏ dầu có sản lượng khai thác trong năm đầu tiên là $100\,000$ thùng dầu. Kể từ năm thứ hai trở đi, do trữ lượng giảm nên sản lượng khai thác trong mỗi năm đều giảm $10\%$ so với sản lượng của năm ngay trước đó. Tính tổng sản lượng dầu mà mỏ này khai thác được trong $5$ năm đầu tiên (đơn vị: thùng).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong các mô hình thực tế, khi một đại lượng tăng hoặc giảm theo một tỉ lệ phần trăm cố định $r$ sau mỗi chu kỳ thời gian, dãy số thể hiện giá trị của đại lượng đó ở các chu kỳ là một cấp số nhân.
- Nếu đại lượng giảm $p\%$ sau mỗi kỳ thì giá trị ở kỳ sau bằng $(1 – p\%)$ giá trị kỳ trước, tức công bội $q = 1 – \frac{p}{100}$.
- Số hạng thứ $n$ của cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
- Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội $q \ne 1$: $$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}$$
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC
Gọi $u_n$ là sản lượng khai thác dầu của mỏ ở năm thứ $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$, đơn vị: thùng).
Theo giả thiết:
- Sản lượng năm đầu tiên là $u_1 = 100\,000$ thùng.
- Kể từ năm thứ hai trở đi, sản lượng mỗi năm giảm $10\%$ so với năm liền trước, do đó sản lượng năm thứ $n+1$ bằng:
Như vậy, dãy số $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 100\,000$ và công bội $q = 0{,}9$.
Tương tự như trong bài toán tính tổng sản lượng tích lũy sau nhiều chu kỳ, tổng sản lượng dầu khai thác được trong $5$ năm đầu tiên chính là tổng của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_n)$:
$$S_5 = u_1 \cdot \frac{1 – q^5}{1 – q}$$Thay các giá trị $u_1 = 100\,000$ và $q = 0{,}9$ vào công thức, ta được:
$$S_5 = 100\,000 \cdot \frac{1 – (0{,}9)^5}{1 – 0{,}9}$$Ta tính lũy thừa:
$$(0{,}9)^5 = 0{,}59049$$Khi đó:
$$S_5 = 100\,000 \cdot \frac{1 – 0{,}59049}{0{,}1} = 100\,000 \cdot \frac{0{,}40951}{0{,}1} = 100\,000 \cdot 4{,}0951 = 409\,510$$ thùng.👉 Đáp số (kết quả điền số): 409510
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một giải bóng đá trao thưởng theo nguyên tắc: đội xếp thứ năm nhận số tiền thưởng là $50$ triệu đồng; mỗi đội xếp ở các vị trí cao hơn liền kề nhận số tiền gấp đôi đội xếp ngay sau mình (đội thứ tư nhận $100$ triệu, đội thứ ba nhận $200$ triệu,…). Tính tổng số tiền thưởng ban tổ chức trao cho $5$ đội bóng dẫn đầu (đơn vị: triệu đồng).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Số tiền thưởng cho các đội từ vị trí thứ $5$ lên vị trí quán quân lập thành một cấp số nhân có $u_1 = 50$, công bội $q = 2$, với số số hạng $n = 5$.
Tổng quỹ tiền thưởng trao cho $5$ đội là:
$$S_5 = u_1 \cdot \frac{q^5 – 1}{q – 1} = 50 \cdot \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = 50 \cdot (32 – 1) = 50 \cdot 31 = 1550\text{ (triệu đồng)}$$👉 Đáp số: 1550
Bài tập 2: Tương tự mô hình sinh trưởng trong bài toán nhân đôi số lượng cá thể vi khuẩn, một tế bào sinh vật phân chia theo cơ chế nguyên phân: từ $1$ tế bào ban đầu, sau mỗi chu kỳ phân chia sẽ tạo ra $2$ tế bào mới. Hỏi sau $10$ chu kỳ phân chia liên tiếp, từ tế bào ban đầu đó sẽ tạo ra tất cả bao nhiêu tế bào mới?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Số lượng tế bào ban đầu là $N_0 = 1$. Sau mỗi lần phân bào, số lượng tế bào nhân đôi ($q = 2$).
Sau $10$ chu kỳ phân chia, số lượng tế bào sinh vật tạo thành là:
$$N_{10} = N_0 \cdot 2^{10} = 1 \cdot 1024 = 1024\text{ (tế bào)}$$👉 Đáp số: 1024
Bài tập 3: Một thiết bị văn phòng có giá mua mới là $64$ triệu đồng. Sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của thiết bị giảm đi một nửa so với giá trị của năm ngay trước đó. Hỏi sau $4$ năm sử dụng, giá trị còn lại của thiết bị là bao nhiêu triệu đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Giá trị ban đầu của máy là $V_0 = 64$ triệu đồng. Sau mỗi năm, giá trị còn lại bằng $\frac{1}{2}$ giá trị năm trước.
Giá trị còn lại của máy sau $4$ năm sử dụng là:
$$V_4 = V_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4\text{ (triệu đồng)}$$👉 Đáp số: 4
Bài tập 4: Tương tự sự tiêu hao năng lượng trong bài toán quả bóng nảy liên tiếp, khi một chùm tia bức xạ truyền qua các tấm chắn chì, mỗi tấm chì
Để lại phản hồi