📌 Đề bài:
Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đối với bài toán xác định cực trị từ đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta cần phân biệt rõ các khái niệm:
- Điểm cực đại của hàm số: là giá trị hoành độ $x_0$ mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến (đỉnh lồi của đồ thị).
- Giá trị cực đại của hàm số (cực đại): là tung độ $y_{\text{CĐ}} = f(x_0)$.
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số: là cặp tọa độ $(x_0; y_0)$ trên mặt phẳng $Oxy$.
Bạn có thể tham khảo thêm dạng bài tương tự: tìm các điểm cực trị của hàm số phân thức và tọa độ điểm cực trị trên đồ thị hàm số để nắm vững quy tắc đọc đồ thị.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Quan sát trực quan từ đồ thị
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là đỉnh nhô lên cao nhất của nhánh bên trái, có tọa độ là $(-2; -2)$.
- Do đề bài hỏi giá trị cực đại của hàm số (tức là tung độ $y_{\text{CĐ}}$), ta có $y_{\text{CĐ}} = -2$.
Cách 2: Khảo sát bằng đạo hàm để kiểm chứng
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Ta có: $y = x + 1 + \frac{1}{x + 1} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1)^2 – 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$.
Giải phương trình $y’ = 0$:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow x(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = -2 \end{cases}$$Ta thấy khi qua $x = -2$, $y’$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x = -2$.
Giá trị cực đại tương ứng là:
$$y_{\text{CĐ}} = y(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) + 2}{-2 + 1} = \frac{4 – 4 + 2}{-1} = -2$$👉 Chọn đáp án A: $-2$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 3}{x – 1}$. Tìm giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}$ của hàm số đã cho.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu là $y_{\text{CT}} = y(2) = \frac{2^2 – 3(2) + 3}{2 – 1} = 1$.
Bài tập 2: Cho hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Tìm khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Điểm cực đại là $A(0; 2)$, điểm cực tiểu là $B(2; -2)$.
Khoảng cách $AB = \sqrt{(2 – 0)^2 + (-2 – 2)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm $f'(x)$ như sau: $f'(x) > 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(2; +\infty)$, $f'(x) < 0$ trên $(-1; 2)$. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Vậy hàm số có đúng $2$ điểm cực trị.
Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m}$ đạt cực đại tại $x = 2$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm số đạt cực trị tại $x = 2 \Rightarrow y'(2) = 0 \Leftrightarrow (2 + m)^2 = 1 \Leftrightarrow m = -1$ hoặc $m = -3$.
– Với $m = -1$, $y’ = 1 – \frac{1}{(x – 1)^2}$. Tại $x = 2$, $y’$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu – loại).
– Với $m = -3$, $y’ = 1 – \frac{1}{(x – 3)^2}$. Tại $x =
Để lại phản hồi