📌 Đề bài:
Cho hai tập hợp khác rỗng $A = [m – 1; 2m + 3)$ (với $m > -4$) và $B = [-2; 7]$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Định nghĩa tập con: Cho hai tập hợp $A$ và $B$, ta nói $A \subset B$ nếu mọi phần tử $x \in A$ đều thỏa mãn $x \in B$.
- Điều kiện tập hợp con trên các khoảng, đoạn số thực:
- Với $A = [a; b)$ và $B = [c; d]$, điều kiện để $A \neq \varnothing$ là $a < b$.
- Để $A \subset B \Leftrightarrow \begin{cases} a \ge c \\ b \le d \end{cases}$.
- Đối với các dạng toán chứa tham số, các bạn cũng có thể tham khảo thêm dạng toán giao của hai tập hợp rỗng tại bài viết tìm tham số để hai tập hợp có giao bằng rỗng để nắm vững trọn vẹn chuyên đề.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định điều kiện tồn tại của tập hợp $A$
Để nửa khoảng $A = [m – 1; 2m + 3)$ là một tập hợp khác rỗng, ta cần:
$$m – 1 < 2m + 3 \Leftrightarrow 2m - m > -1 – 3 \Leftrightarrow m > -4$$
Điều này luôn đúng theo giả thiết của đề bài ($m > -4$).
Bước 2: Thiết lập điều kiện để $A \subset B$
Tập hợp $B = [-2; 7]$ là một đoạn trên trục số thực.
Để $A \subset B$, mọi điểm thuộc $A = [m – 1; 2m + 3)$ phải nằm trong đoạn $B = [-2; 7]$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} m – 1 \ge -2 \\ 2m + 3 \le 7 \end{cases}$$
Bước 3: Giải hệ bất phương trình
$$\begin{cases} m \ge -2 + 1 \\ 2m \le 7 – 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -1 \\ 2m \le 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -1 \\ m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le m \le 2$$
Kết hợp với điều kiện đề bài $m > -4$, ta nhận $-1 \le m \le 2$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án A. Giá trị cần tìm là $-1 \le m \le 2$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hai tập hợp $A = (m – 2; m + 3]$ và $B = [-5; 4)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $m – 2 < m + 3$ luôn đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$, do đó $A \neq \varnothing$.
Để $A \subset B \Leftrightarrow \begin{cases} m – 2 \ge -5 \\ m + 3 < 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -3 \\ m < 1 \end{cases} \Leftrightarrow -3 \le m < 1$.
Đáp số: $-3 \le m < 1$.
Bài tập 2: Cho hai tập hợp $A = [1; 4]$ và $B = (m – 1; 2m + 2)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Để $A \subset B$, ta cần điều kiện:
$$\begin{cases} m – 1 < 1 \\ 2m + 2 > 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 2 \\ 2m > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 2 \\ m > 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 2$$
Khi $1 < m < 2$, hiển nhiên $m - 1 < 2m + 2$ nên $B \neq \varnothing$.
Đáp số: $1 < m < 2$.
Bài tập 3: Cho hai khoảng $A = (-\infty; m)$ và $B = [3m – 4; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Để $A \cap B = \varnothing$, khoảng $(-\infty; m)$ và nửa khoảng $[3m – 4; +\infty)$ không có điểm chung nào.
Điều này tương đương với: $m \le 3m – 4 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2$.
Đáp số: $m \ge 2$.
Bài tập 4: Cho hai khoảng $A = (m; m + 2)$ và $B = (1; 3)$. Tìm $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta giải bài toán ngược: Tìm $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
$A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 2 \le 1 \\ m \ge 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le -1 \\ m \ge 3 \end{array} \right.$.
Phủ định lại điều kiện trên, ta có $A \cap B \neq \varnothing \Leftrightarrow -1 < m < 3$.
Đáp số: $-1 < m < 3$.
Bài tập 5: Cho hai tập hợp $A = [-3; 1]$ và $B = (m; m + 5)$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để $A \subset B$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Để $A \subset B \Leftrightarrow \begin{cases} m < -3 \\ m + 5 > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < -3 \\ m > -4 \end{cases} \Leftrightarrow -4 < m < -3$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn.
Đáp số: Không tồn tại giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Để lại phản hồi