📌 Đề bài:
Cho hai tập hợp khác rỗng $A = (m – 1; m + 3]$ và $B = (-\infty; -3) \cup [4; +\infty)$ (với $m$ là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về các phép toán tập hợp chứa tham số, ta áp dụng mối quan hệ giữa các tập con và phần bù:
- Tập hợp con và phần bù: $A \cap B = \varnothing \iff A \subset C_{\mathbb{R}}B$.
- Tìm phần bù của $B$ trên trục số thực $\mathbb{R}$: $C_{\mathbb{R}}B = \mathbb{R} \setminus B$.
- Điều kiện để khoảng/đoạn $(a; b] \subset [c; d)$ là: $\begin{cases} c \le a \\ b < d \end{cases}$.
- Chú ý cẩn thận các đầu mút dấu ngoặc vuông $[\,]$ (lấy giá trị) và ngoặc tròn $(\,)$ (không lấy giá trị) để tránh sai sót dấu “$=$”. Kỹ năng này cũng quan trọng như khi giải các bài toán khảo sát hàm số trong các đề kiểm tra định kỳ.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC
Bước 1: Tìm phần bù của tập hợp $B$ trong $\mathbb{R}$
Ta có $B = (-\infty; -3) \cup [4; +\infty)$. Do đó, phần bù của tập hợp $B$ trong $\mathbb{R}$ là:
$$C_{\mathbb{R}}B = \mathbb{R} \setminus B = [-3; 4)$$
Bước 2: Chuyển điều kiện bài toán về bài toán tập con
Theo định nghĩa phép giao tập hợp, ta có:
$$A \cap B = \varnothing \iff A \subset C_{\mathbb{R}}B$$
$$\iff (m – 1; m + 3] \subset [-3; 4)$$
Bước 3: Thiết lập hệ điều kiện và tìm tham số $m$
Để nửa khoảng $(m – 1; m + 3]$ là tập con của nửa khoảng $[-3; 4)$, các đầu mút phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
$$\begin{cases} m – 1 \ge -3 \\ m + 3 < 4 \end{cases} \iff \begin{cases} m \ge -2 \\ m < 1 \end{cases} \iff -2 \le m < 1$$
👉 Kết luận / Đáp án: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m \in [-2; 1)$ (hay $-2 \le m < 1$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hai tập hợp $A = [m – 1; m + 2]$ và $B = (-3; 5)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \subset B$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Để đoạn $[m – 1; m + 2] \subset (-3; 5)$ thì điều kiện là:
$$\begin{cases} m – 1 > -3 \\ m + 2 < 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m > -2 \\ m < 3 \end{cases} \iff -2 < m < 3$$
Đáp số: $m \in (-2; 3)$.
Bài tập 2: Cho hai tập hợp $A = [m; m + 2]$ và $B = [1; 3]$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$A \cap B = \varnothing$ khi và chỉ khi tập $A$ nằm hoàn toàn về bên trái hoặc bên phải của tập $B$ trên trục số:
$$\left[ \begin{array}{l} m + 2 < 1 \\ m > 3 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{l} m < -1 \\ m > 3 \end{array} \right.$$
Đáp số: $m \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Bài tập 3: Cho hai tập hợp $A = (-\infty; m)$ và $B = [2m – 4; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B \ne \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $A \cap B \ne \varnothing \iff 2m – 4 < m \iff m < 4$.
Đáp số: $m < 4$.
Bài tập 4: Cho hai khoảng $A = (m; m + 1)$ và $B = (2; 5)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cup B$ là một khoảng.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Để hợp của hai khoảng là một khoảng thì hai khoảng phải giao nhau hoặc tiếp xúc mép với nhau:
$$\begin{cases} m + 1 \ge 2 \\ m \le 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m \ge 1 \\ m \le 5 \end{cases} \iff 1 \le m \le 5$$
Đáp số: $m \in [1; 5]$.
Bài tập 5: Cho $A = [m – 2; m + 4]$ và $B = [-3; 3]$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $B \subset A$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Để đoạn $[-3; 3] \subset [m – 2; m + 4]$ thì:
$$\begin{cases} m – 2 \le -3 \\ m + 4 \ge 3 \end{cases} \iff \begin{cases} m \le -1 \\ m \ge -1 \end{cases} \iff m = -1$$
Đáp số: $m = -1$.
Để lại phản hồi