Cho một hộp bi thứ nhất đựng 6 viên bi đôi một khác nhau gồm: 2 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu vàng. Các viên bi được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang.

Bài toán: Cho một hộp bi thứ nhất đựng 6 viên bi đôi một khác nhau gồm: 2 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu vàng. Các viên bi được xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang.
a) Tổng số cách xếp 6 viên bi khác nhau thành một hàng ngang là 720 cách
b) Xác suất để hai viên bi màu xanh đứng cạnh nhau khi xếp ngẫu nhiên 6 viên bi là $\dfrac{1}{3}$
c) Xác suất để hai viên bi màu vàng đứng cạnh nhau, biết rằng hai viên bi màu đỏ đứng cạnh nhau khi xếp ngẫu nhiên 6 viên bi là $\dfrac{2}{5}$
d) Người ta lấy thêm một hộp bi thứ hai gồm 6 viên bi đôi một khác nhau ( 2 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu vàng) và sắp xếp theo cách sau: Đầu tiên xếp hai viên bi xanh cạnh nhau, sau đó xếp ngẫu nhiên 4 viên bi còn lại vào các vị trí có thể. Một hộp được chọn (hộp thứ nhất hoặc hộp thứ hai) ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau và từ hộp đó lấy ra một cách xếp. Nếu quan sát thấy hai viên bi màu vàng đứng cạnh nhau thì xác suất đó là cách xếp từ hộp thứ hai là $\dfrac{3}{11}$.

Lời giải

a) Đúng: Số cách xếp 6 viên bị khác nhau là $6!=720$ cách
b) Đúng: Xác suất để hai viên bi màu xanh đứng cạnh nhau là: $P=\dfrac{2!.5!}{6!}=\dfrac{1}{3}$
c) Đúng: Gọi $A$ là biến cố hai bi vàng đứng cạnh nhau, $B$ là biến cố hai bi đỏ đứng cạnh nhau

Khi $P\left(B\right)=\dfrac{1}{3}$ (tương tự ý trên) và $P\left(AB\right)=\dfrac{4!.2!.2!}{6!}=\dfrac{2}{15}$. Vậy xác suất cần tính là: $P\left(A\mid B\right)=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{5}$
d) Sai: Gọi $H_{1}$ là biến cố chọn được hộp thứ nhất; $H_{2}$ là biến cố chọn được hộp thứ hai

Theo giả thiết, ta có: $P\left(H_{1}\right)=P\left(H_{2}\right)=\dfrac{1}{2}$
Xác suất quan sát thấy hai viên bi màu vàng cạnh nhau khi chọn hộp thứ hai

                 $P\left(A\mid H_{2}\right)=\dfrac{4!.2!.2!}{5.2!.4!}=\dfrac{2}{5}$

Ta có: $P\left(A\right)=P\left(A\mid H_{1}\right)\cdot P\left(H_{1}\right)+P\left(A\mid H_{2}\right)\cdot P\left(H_{2}\right)$ mà $P\left(A\mid H_{1}\right)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{11}{30}$
Vậy xác xuất đó là cách xếp từ hộp thứ hai nếu quan sát thấy hai viên bi màu vàng đứng cạnh nhau là:

                  $P\left(H_{2}\mid A\right)=\dfrac{P\left(A\mid H_{2}\right)\cdot P\left(H_{2}\right)}{P\left(A\right)}=\dfrac{\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{11}{30}}=\dfrac{6}{11}$