Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, xét mô hình phòng không như sau: Rađa đặt tại gốc toạ độ $O\left(0;0;0\right)$, tên lửa phòng không đặt tại điểm $A\left(0;100;0\right)$; mỗi đơn vị tương ứng với 10 m ; mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất; giả sử mọi UAV (phương tiện bay không người lái) và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm $t=0$, rađa phát hiện ra UAV $M$ ở tọa độ $M_{0}\left(20000;0;20\right)$ ; tại thời điểm $t=1$ rađa theo dõi thấy UAV $M$ ở toạ độ $M_{1}\left(19995;1;19,5\right)$ trên đường thẳng $d$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, xét mô hình phòng không như sau: Rađa đặt tại gốc toạ độ $O\left(0;0;0\right)$, tên lửa phòng không đặt tại điểm $A\left(0;100;0\right)$; mỗi đơn vị tương ứng với 10 m ; mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất; giả sử mọi UAV (phương tiện bay không người lái) và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm $t=0$, rađa phát hiện ra UAV $M$ ở tọa độ $M_{0}\left(20000;0;20\right)$ ; tại thời điểm $t=1$ rađa theo dõi thấy UAV $M$ ở toạ độ $M_{1}\left(19995;1;19,5\right)$ trên đường thẳng $d$.

a) Góc nghiêng của đường thẳng $d$ và mặt đất là $0,02\mathrm{\,rad}$.
b) Khoảng cách giữa UAV $M$ và gốc $O$ tại thời điểm 6 giây là 19970 m .
c) Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ tới đường thẳng $d$ xấp xỉ 42684 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
d) Tại thời điểm $t=6\mathrm{\,\;s}$, một tên lửa được phóng lên và chuyển động thẳng đều với vận tốc $3400\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ , va chạm và phá huỷ UAV $M$ tại điểm $B$ trên $d$. Khi đó, sau 57,88 giây kể từ lúc phóng thì tên lửa va chạm với UAV (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của giây).

Lòi giải

Ta có $\overrightarrow {M_{0}M_{1}} =\left(-5;1;-0,5\right)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là $\vec k=\left(0;0;1\right)$. Khi đó $\mathrm{\,sin}\left(d,\left(Oxy\right)\right)=\dfrac{\left|-0,5\right|}{\sqrt {5^{2}+1^{2}+0,5^{2}} \cdot 1}=\dfrac{1}{\sqrt {105} }\Rightarrow \left(d,\left(Oxy\right)\right)\approx 0,098\left(\mathrm{\,rad}\right)$. Do đó ý a) Sai.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{\begin{array}{*{20}{l}}x=20000-5t\\y=t\\z=20-0,5t\end{array}\right. $
(Do UAV chuyển động thẳng đều nên ta có thể đồng nhất $t$ với số giây bay được của UAV, tính từ lúc nó bị rađa phát hiện). Toạ độ của UAV lúc 6 giây là $M_{6}\left(19970;6;17\right)$.

Suy ra $OM_{6}\approx 19970$. Vậy khoảng cách thực tế là 199700 m (do quy đơn vị 1 đơn vị bằng 10 m ). Do đó ý b) Sai.

Ta có: $MA=\sqrt {(20000-5t)^{2}+(100-t)^{2}+(20-0,5t)^{2}} =\sqrt {26,25t^{2}-200220t+400010400} \geq 4268,4$
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ $A$ tới $d$ là 42684m. Do đó ý c) Đúng.
Tốc độ $\left(10\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right)$ của UAV là $v_{1}=\dfrac{M_{1}M_{0}}{1}=\sqrt {26,25} $;
Tốc độ của tên lửa $\left(10\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right)$ là $v_{2}=340$.
Mặt khác, toạ độ $B$ có dạng $B\left(19970-5a;6+a;17-0,5a\right)(a\geq 0,a=0$ tính từ lúc UAV đi qua điểm $M_{6}$ ). Tên lửa va chạm và phá huỷ UAV tại $B$, tức là

$\begin{array}{*{20}{r}}{}&\dfrac{M_{6}B}{v_{1}}=\dfrac{AB}{v_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt {(5a)^{2}+a^{2}+(0,5a)^{2}} }{\sqrt {26,25} }=\dfrac{\sqrt {(19970-5a)^{2}+(a-94)^{2}+(17-0,5a)^{2}} }{340}\\{}&340a=\sqrt {(19970-5a)^{2}+(a-94)^{2}+(17-0,5a)^{2}} \\{}&\;\Leftrightarrow 115573,75a^{2}+199905a-398810025=0\Leftrightarrow a\approx 57,88.\end{array}$

Vậy sau 57,88 giây kể từ lúc phóng thì tên lửa va chạm với UAV. Do đó ý d) Đúng.