Giải SGK Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục – Cánh Diều

GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục – SÁCH GIÁO KHOA Cánh Diều

================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục
Bài tập
Bài 1 trang 77 Toán 11 Tập 1:Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x³+ x + 1 tại điểm x = 2.
Lời giải:
Hàm số f(x) = 2x³+ x + 1 xác định trên ℝ.
Ta có:$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(2x^3+x+1\right)$= 2.2³+2+1 = 17 = f(2).
Do đó hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 2 trang 77 Toán 11 Tập 1:Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Lời giải:
+) Hình 15a): Hàm số f(x) = x²– 2x có tập xác định D = ℝ.
Hàm số liên tục trên toàn bộ ℝ.
+) Hình 16b): Hàm số g(x)=$\frac{x}{x–1}$có tập xác định D = ℝ{1}.
Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.
+) Hình 16c):
Với x∈(– ∞; – 1) có f(x) = – 2x liên tục.
Với x∈(– 1; ∞) có f(x) = x + 1 liên tục.
Tại x = – 1 có$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }2x=-2$và f(– 1) = – 1 + 1 = 0.
Suy ra$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)\ne$f(-1). Do đó hàm số liên tục tại x = – 1.
Vậy hàm số kiên tục trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; ∞).
Bài 3 trang 77 Toán 11 Tập 1:Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x₀”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Lời giải:
Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.
Ta có: Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀nên$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.
Hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀nên$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne g\left(x_0\right)$.
Do đó$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)+g\left(x_0\right)$.
Vì vậy hàm số không liên tục tại x₀.
Bài 4 trang 77 Toán 11 Tập 1:Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) f(x) = x²+ sinx;
b) g(x) = x⁴– x²+$\frac{6}{x-1}$;
c) h(x) =$\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.
Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x²+ sinx có tập xác định là ℝ.
Hàm số x²và sinx liên tục trên ℝ nên hàm số f(x) = x²+ sinx liên tục trên ℝ.
b) Hàm số g(x) = x⁴– x²+$\frac{6}{x-1}$có tập xác định là ℝ{1}.
Hàm số x⁴– x²liên tục trên toàn bộ tập xác định
Hàm số$\frac{6}{x-1}$liên tục trên các khoảng ( – ∞; 1) và (1; +∞).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số.
c) Hàm số h(x) =$\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$có tập xác định D = ℝ{– 4; 3}.
Hàm số$\frac{2x}{x-3}$liên tục trên các khoảng( – ∞; 3) và (3; +∞).
Hàm số$\frac{x-1}{x+4}$liên tục trên các khoảng( – ∞; – 4) và (– 4; +∞).
Bài 5 trang 77 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số f(x) =
a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?
c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
Lời giải:
a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:
$\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21 và f(4) = 2.0 + 1 = 1
Suy ra$\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(4\right)$.
Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4.
b) Ta có:$\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=4^2$+4+1 = 21và f(4) = 2.a + 1
Để hàm số liên tục tại x = 4 thì$\underset{x\to 4}{\lim }$f(x) = f(4)
⇔21 = 2a + 1
⇔2a = 20
⇔a = 10
Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.
c) Với x∈(– ∞; 4) có f(x) = x²+ x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Với x∈(4; +∞) có f(x) = 2a + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Tại x = 4 thì a = 10 hàm số liên tục.
Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Bài 6 trang 77 Toán 11 Tập 1:Hình 16 biểu thị độ cao h(m) của một quả bóng đá lên theo thời gian t(s), trong đó h(t) = – 2t²+ 8t.
a) Chứng tỏ hàm số h(t) liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định$\underset{t\to 2}{\lim }\left(-2t^2+8t\right)$.

Lời giải:
a) Hàm số h(t) = – 2t²+ 8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định.
b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì h(t) dần đến 8.
Vậy$\underset{t\to 2}{\lim }\left(-2t^2+8t\right)=8$.

==== ~~~~~~ ====

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – Cánh Diều