Giải SGK Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số – CTST

GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số – SÁCH GIÁO KHOA CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài tập
Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:
a)$\lim \frac{-2n+1}{n}$;
b)$\lim \frac{\sqrt{16n^2-2}}{n}$;
c)$\lim \frac{4}{2n+1}$;
d)$\lim \frac{n^2-2n+3}{2n^2}$.
Lời giải:
a)$\lim \frac{-2n+1}{n}=\lim \left(-2+\frac{1}{n}\right)=\lim \left(-2\right)+\lim \frac{1}{n}=-2$
b)$\lim \frac{\sqrt{16n^2-2}}{n}=\lim \sqrt{\frac{16n^2-2}{n^2}}=\sqrt{\lim \left(16-\frac{2}{n^2}\right)}=\sqrt{16}=4$;
c)$\lim \frac{4}{2n+1}=\lim \frac{}{}\frac{4}{n}2+\frac{1}{n}=\frac{0}{2+0}=0$;
d)$\lim \frac{n^2-2n+3}{2n^2}=\lim \frac{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{2}=\frac{1}{2}$.
Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1:Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)$-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{\dots }+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{\dots }$;
b)$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{\dots }+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{\dots }$.
Lời giải:
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu$u_1=-\frac{1}{2}$và công bội$q=-\frac{1}{2}$bằng:$S=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{\dots }+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{\dots }=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=-\frac{1}{3}$.
b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu$u_1=\frac{1}{4}$và công bội$q=\frac{1}{4}$bằng:$S=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{\dots }+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{\dots }=\frac{}{}\frac{1}{4}1-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$.
Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1:Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 … dưới dạng phân số.
Lời giải:
Ta có: 0,444… = 0,(4) =$\frac{4}{9}$.
Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1:Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu a_nlà diện tích của hình vuông thứ n và S_nlà tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n(n = 1, 2, 3, …) và tìm limS_n(giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu p_nlà chu vi của hình vuông thứ n và Q_nlà tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_nvà Q_n(n = 1, 2, 3, …) và tìm limQ_n(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Lời giải:
a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (a_n) với số hạng đầu là u₁= 1 và công bội$\frac{1}{2}$nên công thức tổng quát của a_n=${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.
Ta có:$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2^n}+\mathrm{\dots }$
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:$S=\lim S_n=\lim \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2^n}+\mathrm{\dots }\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
b) Chu vi p_ncủa hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁= 4 và công bội q =$\frac{1}{2}$có số hạng tổng quát là:$p_n=4{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.
Ta có:$Q_n=4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{\dots }+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{\dots }$
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:$Q=\lim Q_n=\lim \left(4+4.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{4}+\mathrm{\dots }+4.\frac{1}{2^n}+\mathrm{\dots }\right)=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.
Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1:Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
a) Bắt đầu một hình vuông H­₀cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁(xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂(xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, …).

Ta có: H₁có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng$\frac{1}{3}$;
H₂có 5.5 = 5²hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng$\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^2};\mathrm{\dots }$
Từ đó, nhận được H_ncó 5ⁿhình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng$\frac{1}{3^n}$.
a) Tính diện tích S_ncủa H_nvà tính lim S_n.
b) Tính chu vi p_ncủa H_nvà tính limp_n.
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_nvà chu vi limp_n).
Lời giải:
a) Diện tích S_ncủa H_nlà$S_n=5^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=5^n.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n}={\left(\frac{5}{9}\right)}^n$
Khi đó${\text{limS}}_n=\lim {\left(\frac{5}{9}\right)}^n=0$.
b) Chu vi p_ncủa H_nlà:$p_n=5^n.\left(4.\frac{1}{3^n}\right)=4.{\left(\frac{5}{3}\right)}^n$.
Khi đó limp_n= lim= 0.

==== ~~~~~~ ====

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – CHÂN TRỜI SÁNG TẠO