Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \).

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \).

A. \(I = 10\).

B. \(I = – 2\).

C. \(I = 1\).

D. \(I = – 1\).

Lời giải:

Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow {\rm{d}}t = \cos x\,{\rm{d}}x\), đổi cận: \(x = – \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = – \frac{1}{2}\),\(x = 0 \Rightarrow t = 0\).

Do đó: \(I = \int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {2t.f’\left( t \right)\,{\rm{d}}t} \). Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2t\\{\rm{d}}v = f’\left( t \right)\,{\rm{d}}t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 2{\rm{d}}t\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.\)

\(I = \left. {\left( {2t.f\left( t \right)} \right)} \right|_{ – \frac{1}{2}}^0 – 2\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = f\left( { – \frac{1}{2}} \right) – 2\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t} = – 2\). (Do \(f\left( x \right)\) là hàm chẵn).

Chú ý :

Nếu \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) là hàm số chẵn trên \(\left[ { – a;a} \right]\) ta có \(\int\limits_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \). (1)

Thật vậy \(\int\limits_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – a}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \). Với \(\int\limits_{ – a}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) đặt \(x = – t \Rightarrow {\rm{d}}x = – {\rm{d}}t;x = 0 \Rightarrow t = 0;\,x = – a \Rightarrow t = a\)

Ta có \(\int\limits_{ – a}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_a^0 {f\left( { – t} \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^a {f\left( t \right){\rm{d}}t} } = \int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Rightarrow (1)\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.