Giải SBT Bài 2 Chương 5 – SBT Toán 10 CHÂN TRỜI – GIẢI CHI TIẾT
===========
Giải bài 1 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MN} \)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) (với M là trung điểm của BC)
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, suy ra O là trung điểm của AC, BD, MN
Áp dụng tính chất trung điểm ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MN} \\\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MN} \end{array}\)
Từ đó ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MN} \) (đpcm)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 2 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} \)
Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} \) và phép trừ vectơ \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)
Lời giải chi tiết
a) Sử dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} \end{array}\)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 3 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} \)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu dựa vào các quy tắc cộng, trừ vectơ
Bước 2: Xác định độ dài các cạnh dưới dấu vectơ đã tìm được ở bước 1
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)
\(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \)
Từ B kẻ \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} \), suy ra \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)
Áp dụng định lí côsin ta có \(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2} – 2.AB.BD.\cos \widehat {ABD}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} – 2.a.a.\cos 120^\circ } = a\sqrt 3 \)
Vậy độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} \) lần lượt là a và \(a\sqrt 3 \)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 4 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {CO} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \)
b) \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DB} \)
c) \(\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC} \)
d) \(\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ vectơ và quy tắc ba điểm
Lời giải chi tiết
a) Hình bình hành ABCD có tâm O nên \(\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {CO} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \) (đpcm)
b) \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} \) (đpcm)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BA} \\\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CD} \end{array}\)
Mặt khác ta có \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \), suy ra \(\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC} \) (đpcm)
d) \(\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \)
Mà ta có ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {DC} \) là hai vectơ đối nhau
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {DA} – \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (đpcm)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 5 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là 100N và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)
Phương pháp giải
Điểm M dưới tác động của 3 lực nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)
Và áp dụng các tính chất của phép cộng của vectơ, quy tắc hình bình hành
Lời giải chi tiết
Điểm M dưới tác động của 3 lực nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Dựng hình bình hành AMBD ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \)
Suy ra \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) (1)
(1) xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MD} \) và \(\overrightarrow {MC} \) là hai vectơ đối nhau
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD\)
AMBD là hình bình hành suy ra \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {MB} ,\widehat {AMB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {MAD} = 120^\circ \)
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(\begin{array}{l}AD = \sqrt {A{M^2} + A{D^2} – 2AM.AD.\cos \widehat {MAD}} \\ = \sqrt {{{100}^2} + {{100}^2} – 2.100.100.\cos 120^\circ } \simeq 173,21\end{array}\)
Vậy độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) gần bằng 173,21 N
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 6 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha \), lực \(\overrightarrow F \) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow {{F_1}} \) và lực cản \(\overrightarrow {{F_2}} \) (hình 8). Cho biết \(\alpha = 45^\circ \) và \(\left| {\overrightarrow F } \right| = a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\)
Phương pháp giải
Từ giả thiết ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} + \widehat {COB}\)
Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {BOQ}\)
Ta có: \(OA = OB = OC.\cos 45^\circ \), \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} ,\overrightarrow F = \overrightarrow {OC} \)
Từ giả thiết ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} + \widehat {COB} = 90^\circ ,\widehat {COQ} = \widehat {COB} + \widehat {BOQ} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {BOQ} = \alpha = 45^\circ \) (\(\widehat {BOQ}\) đối đỉnh với \(\alpha \))
Suy ra \(\widehat {COB} = 90^\circ – \widehat {BOQ} = 45^\circ \)
Từ đó ta có: \(OA = OB = OC.\cos 45^\circ = a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
Giải bài 7 trang 94 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho 2 điểm M, N thỏa mãn:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \)
Phương pháp giải
Áp dụng vào tính chất của trung điểm và trọng tâm của tam giác
+) M là trung điểm AB \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
+) G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
Áp dụng vào tính chất của trung điểm và trọng tâm của tam giác ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 \) suy ra M là trung điểm của AD
Từ đó ta có: \(\overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {DA} } \right| = \frac{1}{2}DA = \frac{a}{2}\)
\(\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Suy ra \(\overrightarrow {NO} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CO} } \right| = \frac{1}{3}CO\)
Ta tính được \(AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow CO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)
Vậy độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \) lần lượt là \(\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 2
===========
THUỘC: Giải sách bài tập Toán 10 – Chân trời
Để lại một bình luận