Giải bài tập Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn (Chân trời)

Giải bài tập Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn (Chân trời)

=========

Giải bài 1 trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

 

Phương pháp giải

+) Phần đồ thị nằm trên trục hoành có các x tương ứng là nghiệm của BPT \(f\left( x \right) > 0\)

+) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành có các x tương ứng là nghiệm của BPT \(f\left( x \right) < 0\)

+) Tại x có đồ thị cắt trục hoành là nghiệm của BPT \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào đồ thị ta thấy \({x^2} + 2,5x – 1,5 \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { – 3;\frac{1}{2}} \right]\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2,5x – 1,5 \le 0\) là \(\left[ { – 3;\frac{1}{2}} \right]\)

b) Dựa vào đồ thị ta thấy \( – {x^2} – 8x – 16 < 0\) với mọi x khác \( – 4\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \( – {x^2} – 8x – 16 < 0\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 4} \right\}\)

c) Dựa vào đồ thị ta thấy \( – 2{x^2} + 11x – 12 > 0\) khi x thuộc khoảng \(\left( {\frac{3}{2};4} \right)\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \( – 2{x^2} + 11x – 12 > 0\) là \(\left( {\frac{3}{2};4} \right)\)

d) Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của tam thức \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 1\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành với mọi x

Vậy bất phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 1 \le 0\) vô nghiệm.

Giải bài 2 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(2{x^2} – 15x + 28 \ge 0\)

b) \( – 2{x^2} + 19x + 255 > 0\)

c) \(12{x^2} < 12x – 8\)

d) \({x^2} + x – 1 \ge 5{x^2} – 3x\)

 

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức (nếu có)

Bước 2: Xác định dấu của a

Bước 3: Xét dấu của tam thức

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} – 15x + 28\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{7}{2};{x_2} = 4\)

và có \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) \ge 0\) khi x thuộc hai nửa khoảng \(\left( { – \infty ;\frac{7}{2}} \right];\left[ {4; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} – 15x + 28 \ge 0\) là \(\left( { – \infty ;\frac{7}{2}} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)

b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + 19x + 255\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{{15}}{2};{x_2} = 17\)

và có \(a =  – 2 < 0\) nên \(f\left( x \right) > 0\) khi x thuộc khoảng \(\left( { – \frac{{15}}{2};17} \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( – 2{x^2} + 19x + 255 > 0\) là \(\left( { – \frac{{15}}{2};17} \right)\)

c) \(12{x^2} < 12x – 8 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12x + 8 < 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 12{x^2} – 12x + 8\) có \(\Delta  =  – 240 < 0\) và \(a = 12 > 0\)

nên \(f\left( x \right) = 12{x^2} – 12x + 8\) dương với mọi x

Vậy bất phương trình \(12{x^2} < 12x – 8\) vô nghiệm

d) \({x^2} + x – 1 \ge 5{x^2} – 3x \Leftrightarrow 4{x^2} – 4x + 1 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 4{x^2} – 4x + 1\) có \(\Delta  = 0\) và \(a = 4 > 0\)

nên \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi x

Vậy bất phương trình \({x^2} + x – 1 \ge 5{x^2} – 3x\) có vô số nghiệm

Giải bài 3 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 m². Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễn chiểu dài qua chiều rộng (chu vi = 2.(dài + rộng))

Bước 2: Lập công thức tính diện tích (dài*rộng)

Bước 3: Lập bất phương trình và giải

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của vườn hoa (\(x > 0\), tính bằng đơn vị mét)

Theo giả thiết ta có chiều dài là \(15 – x\)

Diện tích của vườn hoa có phương trình như sau \(f\left( x \right) = x\left( {15 – x} \right) =  – {x^2} + 15x\)

Ta có bất phương trình thỏa mãn bài toán như sau:\( – {x^2} + 15x \ge 50 \Leftrightarrow  – {x^2} + 15x – 50 \ge 0\)

Xét tam thức \(g\left( x \right) =  – {x^2} + 15x – 50\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 5;{x_2} = 10\) và \(a =  – 1 < 0\) nên \(g\left( x \right) > 0\) khi x thuộc đoạn  \(\left[ {5;10} \right]\)

Vậy khi chiều rộng nằm trong đoạn \(\left[ {5;10} \right]\) mét thì diện tích vườn hoa ít nhất là 50 \({m^2}\).

Giải bài 4 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên từ độ cao 1,6 m so với mặt đất với vận tốc là 10 m/s độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số \(h(t)=−4,9t^2+10t+1,6\). Hỏi:

a) Bóng có thể cao trên 7 m không?

b) Bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

 

Phương pháp giải

Bước 1: Lập bất phương trình

Bước 2: Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có bất phương trình sau: \( – 4,9{t^2} + 10t + 1,6 > 7 \Leftrightarrow  – 4,9{t^2} + 10t – 5,4 > 0\)

Xét tam thức \(f\left( t \right) =  – 4,9{t^2} + 10t – 5,4\) có \(\Delta  =  – \frac{{146}}{{25}} < 0\) và \(a =  – 4,9 < 0\)

nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi t, suy ra bât phương trình \( – 4,9{t^2} + 10t + 1,6 > 7\) vô nghiệm

vậy bóng không thể cao trên 7 m

b) Theo giả thiết ta có bất phương trình sau: \( – 4,9{t^2} + 10t + 1,6 > 5 \Leftrightarrow  – 4,9{t^2} + 10t – 3,4 > 0\)

Xét tam thức \(f\left( t \right) =  – 4,9{t^2} + 10t – 3,4\) có hai nghiệm phân biệt là \({t_1} \simeq 0,43;{t_2} \simeq 1,61\) và \(a =  – 4,9 < 0\)

nên \(f\left( t \right)\) dương khi t nằm trong khoảng \(\left( {0,43;1,61} \right)\)

Vậy khi t nằm trong khoảng \(\left( {0,43;1,61} \right)\)giây thì bóng ở độ cao trên 5 m

Giải bài 5 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Mặt cắt ngang của mặt đường thường có hình dạng parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số \(y=−0,006x^2\) với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì thì tim đường cao hơn đường không quá 15 cm?

 

Phương pháp giải

Bước 1: Lập bất phương trình

Bước 2: Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai

Lời giải chi tiết

15 cm = 0,15 m

Tại vì gốc tọa độ đặt tại tim đường nên độ cao của lề đường so với tim đường là âm

Để tim đường cao hơn đường không quá 15 cm thì ta có bât phương trình sau:

\( – 0,006{x^2} \ge  – 0,15 \Leftrightarrow 0,006{x^2} – 0,15 \ge 0\)

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 0,006{x^2} – 0,15\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – 5;{x_2} = 5\) và \(a = 0,006 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương khi x thuộc hai nửa khoảng \(\left( { – \infty ; – 5} \right];\left[ {5; + \infty } \right)\)

Vậy khi chiều rộng của đường lớn hơn 10 m thì tim đường cao hơn đường không quá 15 cm