Giải bài tập Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai (Chân trời)

Giải bài tập Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai (Chân trời)
==========

Giải bài 1 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) \(4{x^2} + 3x + 1\)

b) \({x^3} + 3{x^2} – 1\)

c) \(2{x^2} + 4x – 1\)

Phương pháp giải

Đa thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết

a) Đa thức \(4{x^2} + 3x + 1\) là tam thức bậc hai

b) Đa thức \({x^3} + 3{x^2} – 1\) không là tam thức bậc hai

c) Đa thức \(2{x^2} + 4x – 1\) là tam thức bậc hai

Giải bài 2 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Xác định giá trị của m  để các đa thức sau là tam thức bậc hai

a) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)

b) \(m{x^3} + 2{x^2} – x + m\)

c) \( – 5{x^2} + 2x – m + 1\)

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định \(a\) là hệ số của \({x^2}\)

Bước 2: Đa thức \(a{x^2} + bx + c\)được gọi là tam thức bậc hai khi \(a \ne 0\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(a = m + 1\)

Để đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m + 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow m \ne  – 1\)

Vậy khi \(m \ne  – 1\) thì đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)là tam thức bậc hai

b) Ta có: \(a = 2\)

Để đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} – x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m = 0\)

Vậy khi \(m = 0\) thì đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} – x + m\)là tam thức bậc hai

c) Ta có \(a =  – 5\)

Hệ số c không ảnh hưởng đến tam thức bậc hai

Vậy đa thức \( – 5{x^2} + 2x – m + 1\) là tam thức bậc hai với mọi m

Giải bài 3 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng

 

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định nghiệm của tam thức (là giao điểm của đồ thị với trục hoành)

Bước 2: Xác định khoảng mà \(f\left( x \right) > 0\) (khoảng đồ thị nằm trên trục hoành)

Bước 3: Xác định khoảng mà \(f\left( x \right) < 0\) (khoảng đồ thị nằm dưới trục hoành)

Bước 4: Lập bảng xét dấu

Lời giải chi tiết

a) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 1,5x – 1\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  – 2;{x_2} = \frac{1}{2}\)

\(\)\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { – 2,\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có bảng xét dấu như sau

b) Tam thức \(g\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) vô nghiệm, \(g\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

c) Tam thức \(h\left( x \right) =  – 9{x^2} – 12x – 4\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  – \frac{2}{3}\) và \(h\left( x \right) < 0\forall x \ne  – \frac{2}{3}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

d) Tam thức \(f\left( x \right) =  – 0,5{x^2} + 3x – 6\) vô nghiệm và \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

e) Tam thức \(g\left( x \right) =  – {x^2} – 0,5x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} =  – 2,{x_2} = \frac{3}{2}\)

\(g\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { – 2,\frac{3}{2}} \right)\) và \(g\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}, + \infty } \right)\)

Ta có bảng xét dấu như

g) Tam thức \(h\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt 2 x + 2\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  – \sqrt 2 \)

\(h\left( x \right) > 0\forall x \ne  – \sqrt 2 \)

Ta có bảng xét dấu như sau

Giải bài 4 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) =  – 3{x^2} + 2x + 21\)

c) \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + x – 2\)

d) \(f\left( x \right) =  – 4x(x + 3) – 9\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x – 3} \right)\)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\) có \(\Delta  = 0\), có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} =  – 1\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với mọi \(x \ne  – 1\)

b) \(f\left( x \right) =  – 3{x^2} + 2x + 21\) có \(\Delta  = 256 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{7}{3};{x_2} = 3\)

và \(a =  – 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với \(x \in \left( { – \frac{7}{3};3} \right)\) và âm khi \(x \in \left( { – \infty ; – \frac{7}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

c) \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + x – 2\) có \(\Delta  =  – 15 < 0\), tam thức vô nghiệm

và \(a =  – 2 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) \(f\left( x \right) =  – 4x\left( {x + 3} \right) – 9 =  – 4{x^2} – 12x – 9\) có \(\Delta  = 0\), tam thức có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  – \frac{3}{2}\) và \(a =  – 4 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \ne  – \frac{3}{2}\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x – 3} \right) = 2{x^2} – x – 15\) có \(\Delta  = 121 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  – \frac{5}{2};{x_2} = 3\) và có \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với \(x \in \left( { – \frac{5}{2};3} \right)\) và dương khi \(x \in \left( { – \infty ; – \frac{5}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Giải bài 5 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h\left( x \right) =  – 0,1{x^2} + x – 1\). Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp giải

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(h\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Lập bảng xét dấu

Bước 4: Dựa vào bảng xét dấu đưa ra các khoảng theo yêu cầu

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) > 0\) là khoảng bóng nằm cao hơn vành rổ

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) < 0\) là khoảng bóng nằm thấp hơn vành rổ

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) = 0\) là khoảng bóng nằm ngang vành rổ

Lời giải chi tiết

\(h\left( x \right) =  – 0,1{x^2} + x – 1\) có \(\Delta  = \frac{3}{5} > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 5 – \sqrt {15} ;{x_2} = 5 + \sqrt {15} \)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy khoảng bóng nằm trên vành rổ là \(x \in \left( {1,2;8,9} \right)\)mét
khoảng bóng nằm dưới vành rổ là \(x \in \left( { – \infty ;1,2} \right) \cup \left( {8,9; + \infty } \right)\) mét
khoảng bóng nằm ngang vành rổ là \(x \simeq \left\{ {1,2;8,9} \right\}\)

 

Giải bài 6 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước (20+x) cm và (15−x) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Phương pháp giải

Bước 1: Lập hiệu giữa diện tích mới và diện tích cũ \(f\left( x \right) = 20.15 – \left( {20 + x} \right)\left( {15 – x} \right)\) với \(x > 0\)

Bước 2: Tìm các khoảng thỏa mãn yêu cầu

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) > 0\) là khoảng diện tích tăng lên

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) < 0\) là khoảng diện tích giảm đi

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) = 0\) là khoảng diện tích không đổi

Lời giải chi tiết

Theo giải thiết ta có tam thức sau: \(f\left( x \right) = 20.15 – \left( {20 + x} \right)\left( {15 – x} \right) =  – {x^2} + 5x\)

Tam thức có \(\Delta  = 25 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 0;{x_2} = 5\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy khoảng diện tích tăng lên là \(x \in \left( {0;5} \right)\), khoảng diện giảm đi là \(x > 5\) và diện tích không đổi khi \(x = 0\) và \(x = 5\)

Chú ý khi giải:

Vì x là độ dài nên điều kiện hiển nhiên của x là \(x > 0\)

Giải bài 7 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có \(9m^2+2m>−3 \).

Phương pháp giải

Bước 1: Chuyển bất phương trình tương đương với \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\)

Bước 2: Tính \(\Delta \) và chỉ ra dấu của \(\Delta \)âm

Bước 3: Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai

Lời giải chi tiết

Yêu cầu bài toán tương đương chứng minh \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\) với mọi m

Tam thức có \(\Delta  = {2^2} – 4.9.3 =  – 104 < 0\)

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có

\(\Delta  < 0\) và \(a = 9 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với a với mọi m

Vậy \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\) với mọi m \( \Leftrightarrow 9{m^2} + 2m >  – 3\)với mọi m.

Giải bài 8 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Tìm giá trị của m để:

a) \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);

b) \(m{x^2} + 5x – 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Phương pháp giải

a) Bước 1: Tính \(\Delta \) và xác định dấu của a

Bước 2: \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta  < 0\)

b) Bước 1: Tính \(\Delta \) và xác định dấu của a

Bước 2: \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(a < 0\) và \(\Delta  \le 0\)

Lời giải chi tiết

a) Tam thức \(2{x^2} + 3x + m + 1\) có \(\Delta  = {3^2} – 4.2.\left( {m + 1} \right) = 1 – 8m\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên để \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta  < 0 \Leftrightarrow 1 – 8m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{8}\)

Vậy khi \(m > \frac{1}{8}\) thì \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) Tam thức \(m{x^2} + 5x – 3\) có \(\Delta  = {5^2} – 4.m.\left( { – 3} \right) = 25 + 12m\)

Đề \(m{x^2} + 5x – 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m < 0\) và \(\Delta  = 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le  – \frac{{25}}{{12}}\)

Vậy \(m{x^2} + 5x – 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(m \le  – \frac{{25}}{{12}}\)