Lý thuyết Bài tập cuối chương 8 – Chân trời
============
1.1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
a) Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.
b) Quy tắc nhân
Giả sử một công việc được chúa thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhât có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m.n cách.
1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
a) Hoán vị
|
Cho tập hợp A có n phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi cách sắp xếp n phản tử của A theo một thứ tự gợi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phân tử). |
|---|
Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử
Người ta chứng minh được rằng:
Số các hoán vị của m phần tử (\(n \ge 1\)) bằng
\({P_n} = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1.\)
Chú ý:
+ Ta đưa vào kí hiệu: \(n! = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1.\) và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.
Khi đó, Pn = n!.
+ Quy ước: 0! =1.
b) Chỉnh hợp
|
Cho tập hợp A có n phân tử (\(n \ge 1\)) và sô nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lây k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một cchỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. |
|---|
Người ta chứng minh được rằng
Số các chỉnh hợp chập k của n phân tử \(1 \le k \le n\) bằng
\(A_n^k = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…\left( {n – k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\).
Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Ta có: \({P_n} = A_n^k,n \ge 1.\)
c) Tổ hợp
|
Cho tập hợp A có n phân tử (\(n \ge 1\)) Mỗi tập con gồm k phần tử (\(1 \le k \le n\)) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phân tử. |
|---|
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\)
Người ta chứng minh được rằng:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\) bằng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\)
Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\).
1.3. Nhị thức Newton
Ta có hai công thức khai triển sau:
|
\(\begin{array}{l} Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) \({\left( {a + b} \right)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5. |
|---|
Chú ý:
Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n =0; 1; 2; 3;.. được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).
Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).
Câu 1: Hà có 5 cuốn sách khoa học, 4 cuốn sách tiểu thuyết và 3 cuốn truyện tranh (các sách khác nhau từng đôi một). Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đó để đọc. Nam có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để mượn?
Hướng dẫn giải
Việc Nam chọn một cuốn sách của Hà để mượn có ba phương án thực hiện
Phương án 1: Mượn một cuốn sách khoa học, có 5 lựa chọn để mượn.
Phương án 2: Mượn một cuốn sách tiểu thuyết, có 4 lựa chọn để mượn.
Phương án 3: Mượn một cuốn sách tiểu thuyết, có 3 lựa chọn để mượn.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn một cuốn sách để Nam mượn của Hà là:
\(5 + 4 + 3 = 12\) (cách chọn)
Câu 2: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau
a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?
b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?
Hướng dẫn giải
a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là
\(A_7^3 = 7.6.5 = 210\) (số)
b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn
Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)
Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:
\(A_6^2 = 6.5 = 30\) (cách)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là:
\(4.30 = 120\) (số)
Câu 3: Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 – C_{14}^3\)
Hướng dẫn giải
a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)
b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)
c) \(C_{15}^3 – C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} – \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} – \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)
Câu 4: Khai triển các biểu thức sau
a) \({\left( {x – 2} \right)^4}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {x – 2} \right)^4}\)
\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { – 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { – 2} \right)^2} + 4x{\left( { – 2} \right)^3} + {\left( { – 2} \right)^4}\\ = {x^4} – 8{x^3} + 24{x^2} – 32x + 16\end{array}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)
===========
Chuyên mục: Chương 8: Đại số tổ hợp
Để lại một bình luận