Lý thuyết Bài 3: Nhị thức Newton – Chân trời

Lý thuyết Bài 3: Nhị thức Newton – Chân trời
============

Ta có hai công thức khai triển sau:

Chú ý:

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n =0; 1; 2; 3;..  được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).

Ví dụ 

Sử đụng công thức nhị thức Newton, hãy khai

\(\begin{array}{l}
a){\left( {x + 3} \right)^4}\\
b){\left( {1 – x} \right)^5}
\end{array}\)

Giải

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có

\(\begin{array}{l}
{\left( {x + 3} \right)^4} = 1.{x^4} + 4.{x^3}.3 + 6.{x^2}{.3^2} + 4.x{.3^3} + {1.3^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 4.3.{x^3} + 6.9.{x^2} + 4.27.x + 81\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 12.{x^3} + 54{x^2} + 108.x + 81
\end{array}\)

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 – x} \right)^5} = 1 + 5.\left( { – x} \right) + 10.{\left( { – x} \right)^2} + 10.{\left( { – x} \right)^3} + 5.{\left( { – x} \right)^4} + 1{\left( { – x} \right)^5}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 – 5x + 10{x^2} – 10{x^3} + 5{x^4} – {x^5}
\end{array}\)

Câu 1:  Khai triển các biểu thức sau

a) \({\left( {x – 2} \right)^4}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\left( {x – 2} \right)^4}\)

\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { – 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { – 2} \right)^2} + 4x{\left( { – 2} \right)^3} + {\left( { – 2} \right)^4}\\ = {x^4} – 8{x^3} + 24{x^2} – 32x + 16\end{array}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)

Câu 2:  Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)

b) \(C_4^0 – 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 – {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 + {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 + {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 + 2} \right)^4} = {3^4}\end{array}\)

\( = 81\) (đpcm)

b)

\(\begin{array}{l}C_4^0 – 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 – {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 – {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 – {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 – 2} \right)^4} = {\left( { – 1} \right)^4}\end{array}\)

\( = 1\) (đpcm)

===========
Chuyên mục: Chương 8: Đại số tổ hợp