Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách – Kết nối

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Khi đó, toạ độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.(*)\)

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) vô nghiệm. \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý

Dựa vào các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) của \(\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}} \) ta có: 

+ \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) song song hoặc trùng nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương. 

+ \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) cắt nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương. 

Ví dụ:  Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta 😡 – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0\) và mỗi đường thẳng sau:

\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\sqrt 3 x – \sqrt 6 y + 12 = 0;\\
{\Delta _2}:\sqrt 2 x – 2y = 0.
\end{array}\)

Giải

Vì \(\begin{array}{l}
x – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x – \sqrt 6 y + 12 = 0.
\end{array}\)

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _1}}\) là một, tức là chúng trùng nhau. 

Hai đường thẳng \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; – \sqrt 2 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; – 2} \right)\) cùng phương. 

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng \({{\Delta _2}}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({{\Delta}}\) nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) song song với nhau.

Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\), \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) (hay hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \)) cùng phương. Khi đó:

+ Nếu \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) có điểm chung thì \({{\Delta _1}}\) trùng \({{\Delta _2}}\). 

+ Nếu tồn tại điểm thuộc \({{\Delta _1}}\) nhưng không thuộc \({{\Delta _2}}\) thì \({{\Delta _1}}\) song song với \({{\Delta _2}}\).

1.2. Góc giữa hai đường thẳng

– Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. – Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. – Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Chú ý

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\). 

+ Nếu \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) giữa \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) cũng được xác định thông qua công thứ \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)

Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng

\({\Delta _1}:\sqrt 3 x – y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x – \sqrt 3 y – 2 = 0\). 

Giải

Vectơ pháp tuyến của \({{\Delta _1}}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ; – 1} \right)\), của \({{\Delta _2}}\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; – \sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\). Ta có

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { – 1} \right).\left( { – \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)  

Do đó, góc giữa \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) là \(\varphi  = {30^0}\). 

1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 12 = 0.\) 

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\), ta có

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 – 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) là 2.

Bài tập minh họa

Câu 1:  Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a. \(\Delta _{1}\): x + 4y – 3 = 0 và \(\Delta _{2}\): x – 4y – 3 = 0;

b. \(\Delta _{1}\): x + 2y – \(\sqrt{5}\) = 0 và \(\Delta _{2}\): 2x + 4y – \(3\sqrt{5}\) = 0.

Hướng dẫn giải

a. \(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 4)\)

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(1; -4)\)

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương, nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) cắt nhau.

b. \(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 2)\)

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n_{2}}(2; 4)\)

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) cùng phương nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song hoặc trùng nhau.

Ta có: x + 2y – \(\sqrt{5}\) = 0 \(\Leftrightarrow \)  2x + 4y – \(2\sqrt{5}\) = 0 

2x + 4y – \(2\sqrt{5}\) \(\neq \) 2x + 4y – \(3\sqrt{5}\) nên \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) song song.

Câu 2:  Tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta _{1}\): x + 3y + 2 = 0 và \(\Delta _{2}\): y = 3x + 1

Hướng dẫn giải

\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 3)\) 

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(3; -1)\) 

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|1.3-1.3|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0\)

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi =90^{o}\).

Câu 3:  Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.\) 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta\) qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(4; 3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.

Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là: \(d(M;\Delta )=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1\)

Vậy khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là 1.

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối