Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất của biến cố: A=”Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác” là:

\(n(\Omega ) = C_{100}^3 = 161700\) .

Gọi x,y, z là số ghi trên 3 thẻ được lấy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt: \({{\rm{A}}_k} = \left\{ {(x;y;{\rm{z)/x}},y,{\rm{z}} \in \left\{ {1,2,…,100} \right\},1 \le x < y < {\rm{z = k, (x + y) > z}}} \right\}\).

\( \Rightarrow n({\rm{A}}) = \left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right|\)

Tính Ak với \((4 \le k \le 100)\) .Dễ thấy rằng: \(\left| {{{\rm{A}}_1}} \right| = \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| = \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| = 0\)

TH1 :k chẵn,\(k = 2m{\rm{ (m}} \ge {\rm{2)}}\) .

Xét \(1 \le x \le m, \Rightarrow k = 2m \ge 2{\rm{x}} \Rightarrow (k – x) \ge x;(x + y) > {\rm{z}} \Rightarrow {\rm{y > (k – x)}} \ge {\rm{x}} \Rightarrow {\rm{(k – x + 1)}} \le {\rm{y}} \le {\rm{(z}} – 1)\)

Ta có số cách chọn y là: \((k – 1) – (k – x + 1) + 1 = (x – 1)\)

Xét \(x > m, \Rightarrow (x + y) > 2{\rm{x}} > 2m = {\rm{z}}\) (thỏa mãn đk) \( \Rightarrow (x + 1) \le y \le ({\rm{z – 1) = (2m – 1)}}\)

Ta có số cách chọn y là: \((2m – 1) – (x + 1) + 1 = (2m – x + 1)\)

Vậy,với \(k = 2m{\rm{ }}\)ta có:\(\left| {{{\rm{A}}_k}} \right| = \sum\limits_{x = 1}^m {(x – 1) + } \sum\limits_{x = m + 1}^{2m – 1} {(2m – x – 1)} = {(m – 1)^2}\)

TH2 :k lẻ, \(k = (2m + 1){\rm{ (m}} \ge {\rm{2)}}\) .

Xét \(1 \le x \le m, \Rightarrow k = (2m + 1) > 2{\rm{x}} \Rightarrow (k – x) > x(x + y) > {\rm{z}} \Rightarrow {\rm{y > (k – x) > x}} \Rightarrow {\rm{(k – x + 1)}} \le {\rm{y}} \le {\rm{(z}} – 1)\)

Ta có số cách chọn y là: \((k – 1) – (k – x + 1) + 1 = (x – 1)\)

Xét x > m,ta thấy rằng : \(\forall y\) sao cho \((x + 1) \le y \le ({\rm{z}} – 1)\) ta có: \((x + y) \ge x + (x + 1) = (2{\rm{x}} + 1) > (2m + 1) = {\rm{z}}\) (thỏa mãn đk)

Ta có số cách chọn y là: \((2m + 1 – 1) – (x + 1) + 1 = (2m – x)\)

Vậy,với \(k = (2m{\rm{ + 1)}}\) ta có: \(\left| {{{\rm{A}}_k}} \right| = \sum\limits_{x = 1}^m {(x – 1) + } \sum\limits_{x = m + 1}^{2m} {(2m – x)} = m{(m – 1)^{}}\)

\( \Rightarrow n({\rm{A}}) = \left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right| = (\left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{99}}} \right|) + (\left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_4}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right|)\)

\( \Rightarrow n({\rm{A}}) = \sum\limits_{m = 0}^{49} {m(m – 1) + } \sum\limits_{m = 1}^{50} {{{(m – 1)}^2}} = 39200 + 40425 = 79625\)

\(\Rightarrow P({\rm{A}}) = \frac{{n({\rm{A}})}}{{n(\Omega )}} = \frac{{79625}}{{161700}} = \frac{{65}}{{132}}\)