Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – 2x\) ; với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\) . Biết hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 1,2\) và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đương \(y = f'(x)\) và \(y = g'(x)\) bằng

Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – 2x\) ; với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\) . Biết hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 1,2\) và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đương \(y = f'(x)\) và \(y = g'(x)\) bằng

A. \(\frac{{16}}{3}\) .

B. \(\frac{{71}}{6}\) .

C. \(\frac{{32}}{3}\) .

D. \(\frac{{71}}{{12}}\) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có

\(y = f(x) – g(x) = a{x^4} + \left( {b – m} \right){x^3} + \left( {c – n} \right){x^2} + 3x\)

\( \Rightarrow y’ = f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 4a{x^3} + 3\left( {b – m} \right){x^2} + 2\left( {c – n} \right)x + 3\) .

Vì hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 1,2\) và 3 nên \(y’ = 4a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\) .

Đồng nhất hệ số ta được \(3 = 4a.1.\left( { – 2} \right).\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow a = \frac{1}{8}\) .

Do đó \(f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\) .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đương \(y = f'(x)\) và \(y = g'(x)\) bằng

\(S = \int\limits_{ – 1}^3 {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^3 {\left| {\frac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{71}}{{12}}\) .

=======