Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + a{x^2} + 2\) và \(g(x) = \frac{{ – {x^3}}}{2} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích miền tô đậm bằng \(2\). Hỏi hàm số\(y = f\left( {2x} \right) – g\left( {2x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị.

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + a{x^2} + 2\) và \(g(x) = \frac{{ – {x^3}}}{2} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích miền tô đậm bằng \(2\). Hỏi hàm số\(y = f\left( {2x} \right) – g\left( {2x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị.

A. \(2\).

B. \(0\).

C. \(3\).

D. \(1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Nhận xét đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(3\)điểm cực trị nên \(a < 0\).

Ta có \(f’\left( x \right) = {x^3} + 2ax = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = – 2a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { – 2a} {\rm{ }}\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = 0\\g\left( { – \sqrt { – 2a} } \right) = 0 \Rightarrow \frac{{\left( { – 2a.\sqrt { – 2a} } \right)}}{2} + b.\left( { – 2a} \right) – c.\sqrt { – 2a} = 0\\g\left( {\sqrt { – 2a} } \right) = 0 \Rightarrow – \frac{{\left( { – 2a.\sqrt { – 2a} } \right)}}{2} + b.\left( { – 2a} \right) + c.\sqrt { – 2a} = 0\\\int\limits_0^{\sqrt { – 2a} } {g(x){\rm{d}}x} = 2 \Rightarrow \left. {\left( {\frac{{ – {x^4}}}{8} + \frac{b}{3}.{x^3} + \frac{c}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^{\sqrt { – 2a} } = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\ – a + b.\sqrt { – 2a} – c = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\a + b.\sqrt { – 2a} + c = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\\frac{{ – 4{a^2}}}{8} + \frac{b}{3}.\left( { – 2a} \right)\sqrt { – 2a} – ac = 2{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a + c = 0 \Rightarrow c = – a\end{array} \right.\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta có:

\(\frac{{ – 4{a^2}}}{8} + {a^2} = 2 \Rightarrow 4{a^2} = 16 \Rightarrow a = – 2 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 2\\g(x) = \frac{{ – {x^3}}}{2} + 2x\end{array} \right.\)

Vậy \(y = f(2x) – g(2x) = \left( {4{x^4} – 8{x^2} + 2} \right) – \left( { – 4{x^3} + 4x} \right) = 4{x^4} + 4{x^3} – 8{x^2} – 4x + 2\)

\( \Rightarrow y’ = 16{x^3} + 12{x^2} – 16x – 4 = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

=======