Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^2} + b\) với \(a,b\) là các số thực. Biết hàm số

\(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\) có hai giá trị cực tiểu là \( – 8;\, – 4\) và giá trị cực đại là \(1\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^2} + b\) với \(a,b\) là các số thực. Biết hàm số

\(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\) có hai giá trị cực tiểu là \( – 8;\, – 4\) và giá trị cực đại là \(1\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}\) và \(y = 1\) bằng

A. \(3\ln \frac{4}{5}\).

B. \(2\ln \frac{5}{4}\).

C. \(\ln \frac{5}{4}\).

D. \(3\ln \frac{5}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right) = {x^4} + 4{x^3} + \left( {12 + a} \right){x^2} + 2\left( {a + 12} \right)x + 2a + b\).

Suy ra: \(g’\left( x \right) = 4{x^3} + 12{x^2} + 2\left( {a + 12} \right)x + 2a + 24\).

Xét phương trình \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} = 1 \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) – 24\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + \left( {12 + a} \right){x^2} + 2\left( {a + 12} \right)x + 2a + b = {x^4} + a{x^2} + b – 24\)

\( \Leftrightarrow 4{x^3} + 12{x^2} + 2\left( {a + 12} \right)x + 2a + 24 = 0 \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu

Diện tích hình phẳng cần tìm:

\(\int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}} – 1} \right|{\rm{d}}} x = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f\left( x \right) – g\left( x \right) – 24}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}} x} \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{f\left( x \right) – g\left( x \right) – 24}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}} x} \right|\)

\( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}} x} \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left( {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 24}}} \right){\rm{d}}} x} \right| = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 24} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 24} \right|} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)

\( = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 24} \right|} \right| + \left| {\ln \left| {g\left( {{x_3}} \right) + 24} \right| – \ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 24} \right|} \right|\)

\( = \ln 25 – \ln 16 + \ln 25 – \ln 20 = 3\ln 5 – 3\ln 4 = 3\ln \frac{5}{4}\).

=======