Cho \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(g(x) = f(x) \cdot {e^{ – x}}\) có hai giá trị cực trị là \(5\) và \( – 3\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x)\) và \(h(x) = (2ax + b) \cdot {{\rm{e}}^{ – x}}\) bằng

Cho \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(g(x) = f(x) \cdot {e^{ – x}}\) có hai giá trị cực trị là \(5\) và \( – 3\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x)\) và \(h(x) = (2ax + b) \cdot {{\rm{e}}^{ – x}}\) bằng
A. \(2\)
B. \(8\)
C. \({{\rm{e}}^5} – {{\rm{e}}^{ – 3}}\)
D. \({{\rm{e}}^5} – {{\rm{e}}^3}\)

Lời giải

Ta có \({g^\prime }(x) = \left[ {{f^\prime }(x) – f(x)} \right] \cdot {{\rm{e}}^{ – x}} = \left[ { – a{x^2} + (2a – b)x + b – c} \right] \cdot {{\rm{e}}^{ – x}}\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \({g^\prime }(x)\), khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{g^\prime }\left( {{x_1}} \right) = 0}\\{{g^\prime }\left( {{x_2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( {{x_1}} \right) = 5}\\{g\left( {{x_2}} \right) = – 3}\end{array}} \right.\).

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

\(f(x) \cdot {{\rm{e}}^{ – x}} = (2ax + b) \cdot {{\rm{e}}^{ – x}} \Leftrightarrow \left[ { – a{x^2} + (2a – b)x + b – c} \right] \cdot {{\rm{e}}^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = {x_2}}\end{array}} \right.\)

Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bằng

\(S = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ { – a{x^2} + (2a – b)x + b – c} \right]} \cdot {{\rm{e}}^{ – x}}\;{\rm{d}}x} \right| = \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{g^\prime }} (x){\rm{d}}x} \right| = \left| {g\left( {{x_2}} \right) – g\left( {{x_1}} \right)} \right| = 8\)