Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8\) và \(\int\limits_0^5 {f(x){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {4x – 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8\) và \(\int\limits_0^5 {f(x){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {4x – 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

A. \(3\).

B. \(\frac{{11}}{4}\).

C. \(\frac{9}{4}\).

D. \(6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {4x – 1} \right|} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { – 4x + 1} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x – 1} \right){\rm{d}}x} \).

Tính: \(A = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{4}} {f\left( { – 4x + 1} \right){\rm{d}}x} \). Đặt \(t = – 4x + 1 \Rightarrow – \frac{1}{4}{\rm{d}}t = {\rm{d}}x\)\( \Rightarrow A = – \frac{1}{4}\int\limits_5^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 1\)

Tính: \(B = \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {f\left( {4x – 1} \right){\rm{d}}x} \). Đặt \(t = 4x – 1 \Rightarrow \frac{1}{4}{\rm{d}}t = {\rm{d}}x\)\( \Rightarrow B = \frac{1}{4}\int\limits_0^3 {f(t){\rm{d}}t} = 2\).

Vậy \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {4x – 1} \right|} \right){\rm{d}}x} = A + B = 3\).

=======