Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_3} – {x_1} = 4\) và \(f\left( {{x_2}} \right) = – 4\), đồ thị nhận đường thẳng \(x = {x_2}\) làm trục đối xứng. Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch như trong hình vẽ. Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng
A. \(\frac{7}{6}\).
B. \(\frac{6}{7}\).
C. \(\frac{9}{7}\).
D. \(\frac{8}{7}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tác giả: Nguyễn Đăng Điệp
Tịnh tiến đồ thị hàm số sao cho trục \(Oy\)đi qua điểm cực trị \({x_2}\), thì diện tích của hình phẳng không thay đổi.
Khi đó ta có \(y = f\left( x \right)\)là hàm số bậc bốn trùng phương.
Gọi \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) với \(a < 0\).
Biết \(f\left( {{x_2}} \right) = f\left( 0 \right) = – 4 \Rightarrow c = – 4\), vậy \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} – 4\).
Lại có theo bài ra \({x_3} – {x_1} = 4\)nên khi tịnh tiến đồ thị ta có 3 điểm cực trị là \({x_1} = – 2,{x_2} = 0,{x_3} = 2\).
Mà \(f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx \Rightarrow f’\left( 2 \right) = 32a + 4b = 0 \Rightarrow b = – 8a\).
Vậy \(f\left( x \right) = a{x^4} – 8a{x^2} – 4\).
Theo hình vẽ ta có \({S_2} = 2\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) – \left( { – 4} \right)} \right)} dx = 2\int\limits_0^2 {\left( {a{x^4} – 8a{x^2}} \right)} dx = \left. {2\left( {\frac{{a{x^5}}}{5} – \frac{{8a{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{ – 448a}}{{15}}\).
Lại có \(f\left( 2 \right) = – 16a – 4\)nên độ dài các đoạn\(AB = 4,BC = – 16a\).
Suy ra \({S_1} = {S_{ABCD}} – {S_2} = AB.BC + \frac{{448a}}{{15}} = – 64a + \frac{{448a}}{{15}} = \frac{{ – 512a}}{{15}}\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{512}}{{448}} = \frac{8}{7}\).
Để lại phản hồi