Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 2\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 2\) với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2; – 1;1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 2\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 2\) với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( – 2; – 1;1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?

A. \(\frac{{37}}{6}\). 

B. \(\frac{{13}}{2}\). 

C. \(\frac{9}{2}\). 

D. \(\frac{{37}}{{12}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Xét phương trình \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – 4 = 0\) có 3 nghiệm \({x_1};{x_2};{x_3}\) lần lượt là \( – 2; – 1;1\).

Áp dụng định lý \(Vi – et\) cho phương trình bậc 3 ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} =  – \frac{{b – d}}{a} =  – 2}\\{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = \frac{{c – e}}{a} =  – 1}\\{{x_1}{x_2}{x_3} = \frac{4}{a} = 2}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{c – e =  – 2}\\{b – d = 4}\end{array}} \right.\). Suy ra \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 2{x^3} + 4{x^2} – 2x – 4\)

Diện tích hình phẳng: \(\mathop \smallint \nolimits_{ – 2}^{ – 1} \left( {2{x^3} + 4{x^2} – 2x – 4} \right)dx – \mathop \smallint \nolimits_{ – 1}^1 \left( {2{x^3} + 4{x^2} – 2x – 4} \right)dx = \frac{{37}}{6}\).