Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với tâm $O$ và $AB=a, AD=b, AA'=c.$Với mọi điểm $M$ ta đặt $T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA'^2+MB'^2+MC'^2+MD'^2$Chứng minh rằng $T=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2)$. Hãy xác định vị trí của điểm $M$ để $T$ đạt giá trị bé nhất.

Lời giải

 Theo công thức tính độ dài trung tuyến lần lượt trong các tam giác $MAC’, MBD’, MCA’$ và $MDB’$, ta có:
$MA^2+MC’^2=2MO^2+\frac{AC’^2}{2}=2MO^2+\frac{AA’^2+A’C’^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$
$MB^2+MD’^2=2MO^2+\frac{BD’^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$
$MC^2+MA’^2=2MO^2+\frac{A’C^2}{2} =2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$
$MD^2+MB’^2=2MO^2+\frac{B’D^2}{2}=2MO^2+\frac{c^2+a^2+b^2}{2}$
Cộng vế theo vế bốn đẳng thức trên ta được:
$T =MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA’^2+MB’^2+MC’^2+MD’^2$
$=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2).$  
Từ hệ thức trên ta suy ra $T$ đặt giá trị bé nhất khi và chỉ khi $MO=0$, tức là khi $M$ trùng với tâm $O$ của hình hộp.