Câu 47: (MH Toan 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 2020$ và $\log_3\left(3x+3\right)+x=2y+9^y$?

Câu 47: (MH Toan 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 2020$ và $\log_3\left(3x+3\right)+x=2y+9^y$?
A. ${2019}$.
B. ${6}$.
C. ${2020}$.
D. ${4}$.

Lời giải

Đáp số: D
Ta có: $\log_3\left(3x+3\right)+x=2y+9^y\Leftrightarrow \log_33\left(x+1\right)+1=2y+3^{2y}\Leftrightarrow x+1+\log_3\left(x+1\right)=2y+3^{2y}$
Đặt $t=\log_3\left(x+1\right)$ $\Rightarrow x+1=3^t$
$\Rightarrow$ Phương trình trở thành: $t+3^t=2y+3^{2y}$
Xét hàm số $f(u)=u+3^u$, ta có:
$f\prime(u)=1+3^u\ln3>0$, $\forall u\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ $f(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vì $t+3^t=2y+3^{2y}$ nên $t=2y\Rightarrow \log_3\left(x+1\right)=2y\Leftrightarrow x+1=9^y\Leftrightarrow x=9^y-1$.
Vì $0\le x\le 2020\Rightarrow 0\le 9^y-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le 9^y\le 2021\Leftrightarrow 0\le y\le \log_92021\approx 3,464$
Vì $y=\in\mathbb{Z}$ nên $y\in\{0;1;2;3\}$, có 4 giá trị của $y$ nên cũng có 4 giá trị của $x$.