Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn – Chương 3 – Đại số 10

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{‘^2} + b{‘^2} \ne 0} \right)\)

– Mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ được gọi là một  nghiệm  của hệ.

– Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{‘^2} + b{‘^2} \ne 0} \right)\)

Phương pháp:

– Bước 1:  Tính các giá trị:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a’\end{array}&\begin{array}{l}b\\b’\end{array}\end{array}} \right| = ab’ – a’b\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}c\\c’\end{array}&\begin{array}{l}b\\b’\end{array}\end{array}} \right| = cb’ – c’b\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a’\end{array}&\begin{array}{l}c\\c’\end{array}\end{array}} \right| = ac’ – a’c\end{array}\)

– Bước 2:  Biện luận nghiệm của hệ phương trình:

a) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có một nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), trong đó: \(x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}\)

b) Nếu \(D = 0\) và:

+) \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\) thì hệ vô nghiệm.

+) \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình \(ax + by = c\)

– Bước 3:  Kết luận

Ví dụ:  Giải và biện luận hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\)

– Bước 1: Tính:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} – 1 = \left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} + m – 2 = \left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m – m – 1 = m – 1\end{array}\)

– Bước 2: Biện luận:

+) Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) với:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m – 1}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

+) Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  – 1\end{array} \right.\) thì:

TH1: \(m = 1\) thì \({D_x} = {D_y} = 0\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x + y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 – x\end{array} \right.\)

TH2: \(m =  – 1\) thì \({D_x} \ne 0\) nên hệ vô nghiệm.

– Bước 3: Kết luận:

+) Với \(m \ne  \pm 1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{m + 2}}{{m + 1}};\dfrac{1}{{m + 1}}} \right)\)

+) Với \(m = 1\) thì hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 – x\end{array} \right.\)

+) Với \(m =  – 1\) thì hệ vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.

Ví dụ 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 4y = 3\\7x – 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x – 4y = 8\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 4}\\7&{ – 9}\end{array}} \right| =  – 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 4}\\8&{ – 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { – \frac{5}{{17}}; – \frac{{19}}{{17}}} \right)\)

b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ – 4}\end{array}} \right| =  – 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ – 4}\end{array}} \right| =  – 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| =  – 39\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y – 5) = xy\\(x – 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| = \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x – y}} =  – 7\\\frac{{5x – y}}{{y – x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy – 5x + 3y – 15 = xy\\xy + 5x – 2y – 10 = xy\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5x + 3y = 15}\\{5x – 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x – 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x – y =  \pm \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – y = \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x – y =  – \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 1 – \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1 – \sqrt 2 }\\{y =  – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 1 + \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1 – \sqrt 2 }\\{y =  – 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\)  là  \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 – 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) ĐKXĐ: \(x \ne y\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) =  – 7\left( {x – y} \right)\\3\left( {5x – y} \right) = 5\left( {y – x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x – 4y = 0}\\{20x – 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm

Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx – y = 2m\\4x – my = m + 6\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ – 1}\\4&{ – m}\end{array}} \right| = 4 – {m^2} = \left( {2 – m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ – 1}\\{m + 6}&{ – m}\end{array}} \right| =  – 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 – m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} – 2m = m\left( {m – 2} \right)\)

• Với \({\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne  – 2}\end{array}} \right.\): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
• Với \({\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\):

+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x – y = 4 \Leftrightarrow y = 2x – 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right),\,\,t \in R\).

+ Khi \(m =  – 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\(m \ne 2\) và \(m \ne  – 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right),\,\,t \in R\).

\(m =  – 2\) hệ phương trình vô nghiệm