I. Phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất
- Dạng tổng quát:
| $y=ax+b, (a\neq 0)$ |
2. Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Dạng tổng quát:
| $ax+by=c$ (1) |
Trong đó:
- a , b , c là các hệ số.
- a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
- Khi $a=b=0$ = > (1) <=> $0x + 0y = c$.
- Nếu $c \neq 0$ => (1) vô nghiệm.
- Nếu $c=0$ => Mọi cặp $(x_{0};y_{0})$ đều là nghiệm của (1).
- Khi $b \neq 0$ = > (1) <=> $y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}$.
3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Dạng tổng quát:
| $\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1} & \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} & \end{matrix}\right.$ |
- Nếu $(x_{0};y_{0})$ đều là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.
=> $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình trên.
II. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
- Dạng tổng quát:
| $\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} & & \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} & & \\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} & & \end{matrix}\right.$ |
- Nếu $(x_{0};y_{0};z_{0})$ đều là nghiệm của cả ba phương trình của hệ.
=> $(x_{0};y_{0};z_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình trên.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình
a) \(\sqrt {2x – 3} = x – 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 – x} \)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a) \sqrt {2x – 3} = x – 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 3 \ge 0\\
2x – 3 = {\left( {x – 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} – 8x + 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 6 \vee x = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6
\(\begin{array}{l}
b)\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 – x \ge 0\\
{x^2} + 2x + 4 = 2 – x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
{x^2} + 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x = – 1 \vee x = – 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = – 1 \vee x = – 2
\end{array}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = – 1 và x = -2
Ví dụ 2: Giải các phương trình
a) \(1 + \frac{2}{{x – 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} – \frac{{50}}{{(2 – x)(x + 3)}}\)
b) \(\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17\)
Hướng dẫn:
a) Điều kiện \(x \ne 2,x \ne – 3\)
\(\begin{array}{l}
1 + \frac{2}{{x – 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} – \frac{{50}}{{(2 – x)(x + 3)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{50}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {x – 2} \right) + 50\\
\Leftrightarrow {x^2} – 7x – 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10(n)\\
x = – 3(l)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10
b)
\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 4x – 5 = 4x – 17,{x^2} – 4x – 5 \ge 0\\
– {x^2} + 4x + 5 = 4x – 17,{x^2} – 4x – 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 8x + 12 = 0,{x^2} – 4x – 5 \ge 0\\
– {x^2} + 22 = 0,{x^2} – 4x – 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2(l)\\
x = 6(n)
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {22} (n)\\
x = – \sqrt {22} (l)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và \(x = \sqrt {22} \)
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình
\(a) \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\)
\(b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – z = 1\\
2x – y + 2z = 5\\
x – 2y – 3z = 0
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y = 44\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x = 52\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
20 – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ có nghiệm (4;3)
\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – z = 1\\
2x – y + 2z = 5\\
x – 2y – 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = – 3x + z + 1\\
2x – \left( { – 3x + z + 1} \right) + 2z = 5\\
x – 2\left( { – 3x + z + 1} \right) – 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = – 3x + z + 1\\
5x + z = 6\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = – 3x + z + 1\\
25x + 5z = 30\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = – 3x + z + 1\\
32x = 32\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1\\
z = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1;1)
Trả lời