Đề: Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = a\), \(AB = b\), \(AC = c\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(SA\).

Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(d{\rm{//}}SA\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) dựng đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(K\) và vuông góc với \(SA\).

Gọi \(d\) cắt \({d_1}\)  tại \(I\).

Ta có \(IA = IB = IC = IS\).

Khi đó mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\) có tâm là \(I\) và bán kính là \(R = IA\).

Ta có \(AH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{2}\) và \(IH = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\).

Trong \(\Delta IAH\) có \(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = R\).