Bài tập minh họa
Bài tập 1:
Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.
Lời giải:
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y’=x^2-2mx+m^2-m+1\).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y’}\neq 0\\ \Delta ‘_{y’}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y’=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y”=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y”(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.
Bài tập 2:
Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).
Lời giải:
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y’=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y’\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:
Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)
Bài tập 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].
Lời giải:
\(f'(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4}{x}\); với \(x\in [1;e],f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
\(f(1)=1;f(e)=e^2-4;f(\sqrt{2})=2-2ln2\)
Do đó:
\(\underset{x\in [1;e]}{min}f(x)=f(\sqrt{2})=2-2ln2\).
\(\underset{x\in [1;e]}{max}f(x)=f(e)=e^2-4\).
Bài tập 4:
Lời giải:
\(-x^4+(m+2)x^2-m-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\\ x^2=m+1 \end{matrix}\) (1)(C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1>0\\ m+1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-1\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Khi đó: \((1)\Leftrightarrow x=-1\cup x=1\cup x=-\sqrt{m+1}\cup x=\sqrt{m+1}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<2\Leftrightarrow m+1<4\Leftrightarrow m<3\)
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} -1<m<3\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\).
Để lại phản hồi