1. Nhắc lại các tập hợp số đã học
+ Tập các số tự nhiên: \(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,…} \right\}\)
+ Tập các số tự nhiên khác 0: \({\mathbb{N}^*} = \left\{ {1,2,3,…} \right\}\)
+ Tập các số nguyên: \(\mathbb{Z} = \left\{ {…, – 2, – 1,0,1,2,…} \right\} = \left\{ {0, \pm 1, \pm 2,…} \right\}\)
+ Tập các số hữu tỉ: \(Q = \left\{ {\dfrac{m}{n}|m \in \mathbb{Z},n \in {\mathbb{Z}^*}} \right\}\)
+ Tập số vô tỉ \(I\)
+ Tập các số thực: \(\mathbb{R} = \left( { – \infty ; + \infty } \right)\) gồm tất cả các số trên kể cả số vô tỉ.
Vậy: \({N^*} \subset N \subset Z \subset Q \subset R\)
2. Các tập con của \(\mathbb{R}\)
3. Phương pháp giải
Sử dụng trục số, đoạn (hoặc khoảng) nào không lấy, ta gạch bỏ, sử dụng tính chất giao và hợp của các tập hợp để tìm ra kết quả.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a) \(\left[ { – 3;1} \right) \cup \left( {0;4} \right];\)
b) \(\left( { – 2;15} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right);\)
c) \(\left( {0;2} \right) \cup \left[ { – 1;1} \right);\)
d) \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( { – 1; + \infty } \right);\)
e) \(\left[ { – 12;3} \right) \cap \left( { – 1;4} \right];\)
f) \(\left( {4;7} \right) \cap \left( { – 7; – 4} \right);\)
g) \(\left( {2;3} \right) \cap \left[ {3;5} \right);\)
h) \(\left( { – \infty ;1} \right) \cap \left( { – 1; + \infty } \right).\)
Hướng dẫn giải:
a) \(\left[ { – 3;1} \right) \cup \left( {0;4} \right] = \left[ { – 3;4} \right].\)
b) \(\left( { – 2;15} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right) = ( – 2; + \infty ).\)
c) \(\left( {0;2} \right) \cup \left[ { – 1;1} \right) = {\rm{[}} – 1;2).\)
d) \(\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( { – 1; + \infty } \right) = ( – \infty ; + \infty ).\)
e) \(\left[ { – 12;3} \right) \cap \left( { – 1;4} \right] = {\rm{[}} – 1;3].\)
f) \(\left( {4;7} \right) \cap \left( { – 7; – 4} \right) = \emptyset .\)
g) \(\left( {2;3} \right) \cap \left[ {3;5} \right) = \emptyset .\)
h) \(\left( { – \infty ;1} \right) \cap \left( { – 1; + \infty } \right) = ( – 1;1).\)
Ví dụ 2: Xác định mỗi tập hợp sau và biểu diễn nó trên trục số.
a. (-3;3) ∪ ( -1;0) .
b. (-1;3) ∪ [0;5] .
c. (-2;2] ∩ [1;3) .
Hướng dẫn:
Sử dụng trục số, đoạn (hoặc khoảng) nào không lấy, ta gạch bỏ, sử dụng tính chất giao và hợp của các tập hợp để tìm ra kết quả.
a. (-3;3) ∪ ( -1;0) = (-3; 3).
b. (-1;3) ∪ [0;5] = (-1; 5].
c. (-2;2] ∩ [1;3) = [1; 2]
Ví dụ 3: Cho các tập hợp :
A = {x ∈ R | -3 ≤ x ≤ 2} .
B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 7}.
C = {x ∈ R | x ≤ -1} .
D = {x ∈ R | x ≥ 5}.
Hãy dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên.
Hướng dẫn:
– Theo lý thuyết:[a;b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} .
Vậy A = {x ∈ R | -3 ≤ x ≤ 2} = [-3; 2].
– Theo lý thuyết: (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} .
Vậy B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 7} = (0; 7].
– Theo lý thuyết: (-∞; 1) = { x ∈ R | x < b } .
Vậy C = {x ∈ R | x < -1} = (-∞; 1).
– Theo lý thuyết: [a; +∞) = {x ∈ R | a ≤ x} .
Vậy D = {x ∈ R | x ≥ 5} = [5; +∞).
Ví dụ 4: Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1}; B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3}. Tìm A ∩ B
Hướng dẫn:
Ta có: A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1} = [-5; 1) ( theo lý thuyết: [a; b) = {x ∈ R | -3 ≤ x < b} )
B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3} = (-3; 3] ( theo lý thuyết: (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b})
Ta biểu diễn tập hợp A và B trên trục số như sau:
Vậy A ∩ B = (-3; 1).
Ví dụ 5:
Tìm m sao cho \(\left( {m – 7;m} \right) \subset \left( { – 4;3} \right).\)
Hướng dẫn giải:
\(\left( {m – 7;m} \right) \subset \left( { – 4;3} \right)\) khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}m – 7 \ge – 4\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3.\).
5. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho tập hợp A = {x ∈ R | -3 < x < 1} . Tập A là tập nào sau đây?
A.{-3; 1}.
B. [-3; 1].
C. [-3; 1).
D. (-3; 1).
Hướng dẫn:
Chọn D.
Theo lý thuyết: (a;b) = {x ∈ R | a < x < b}
Vậy A = {x ∈ R | -3 < x < 1} = (-3; 1).
Câu 2: Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập hợp (1; 4]?
A.
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn:
Chọn A. Vì (1; 4] gồm các số thực x mà 1 < x ≤ 4 .
Đáp án B sai vì [1; 4] gồm các số thực x mà 1 ≤ x ≤ 4 .
Đáp án C sai vì (1; 4) gồm các số thực x mà 1 < x < 4.
Đáp án B sai vì [1; 4) gồm các số thực x mà 1 ≤ x ≤ 4.
Câu 3: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = { x ∈ R | 4 ≤ x ≤ 9} :
A. A = [4; 9].
B. A = (4; 9].
C. A = [4; 9).
D. A = (4; 9)
Hướng dẫn:
Chọn A.
Theo lý thuyết: [a;b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} . Suy ra A = {x ∈ R | 4 ≤ x ≤ 9} = [4; 9] .
Câu 4: Cho hai tập hợp A = [-2; 7); B = (1; 9]. Tìm A ∪ B.
A. (1; 7).
B. [-2; 9].
C. [-2; 1).
D. (7; 9].
Hướng dẫn:
Chọn B.
Ta biểu diễn tập hợp A và B trên trục số như sau:
Vậy A ∪ B = [-2;7] ∪ (1;9] = [-2;9] .
Câu 5: Cho tập hợp X = thì X được biểu diễn là hình nào sau đây?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn:
Chọn D.
Giải bất phương trình:
\(1 = |x| = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| \ge 1\\
\left| x \right| \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le – 1
\end{array} \right.\\
– 3 \le x \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
– 3 \le x \le 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
– 3 \le x \le 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \le x \le 3\\
– 3 \le x \le – 1
\end{array} \right.\) ⇔ x ∈ [-3;-1] ∪ [1;3].
Vậy đáp án D thỏa mãn x ∈ [-3;-1] ∪ [1;3] .
Câu 6: Cho hai tập hợp A = (1; 5]; B = (2; 7]. Tập hợp A \ B là:
A. (1; 2].
B. (2; 5).
C. (-1; 7].
D. (-1; 2).
Hướng dẫn:
Chọn A.
Ta biểu diễn tập hợp A và B trên trục số:
Vậy A \ B = { x ∈ R | x ∈ A và x ∉ B } ⇒ x ∈ (1; 2] .
Câu 7: Cho các số thực a, b, c, d và a < b < c < d. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (a; c) ∩ (b; d) = (b; c)
B. (a; c) ∩ (b; d) = (b; c]
C. (a; c) ∩ (b; d) = [b; c)
D. (a; c) ∪ (b; d) = [b; c)
Hướng dẫn:
Chọn A.
Ta biểu diễn (a; c); (b; d) trên trục số sau đó dựa vào tính chất giao của hai tập hợp để tìm ra đáp án:
Vậy (a; c) ∩ (b; d) = (b; c).
Câu 8: Cho tập hợp A = [m; m+2]; B = [-1; 2]. Tìm điều kiện của m để A ⊂ B.
A. m ≤ -1 hoặc m ≥ 0 .
B. -1 ≤ m ≤ 0 .
C. -1 ≤ m ≤ 2 .
D. m < 1 hoặc m > 2.
Hướng dẫn:
Chọn B.
Điều kiện để A ⊂ B là: -1 ≤ m < m + 2 ≤ 2 ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}
m \ge – 1\\
m + 2 \le 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge – 1\\
m \le 0
\end{array} \right.\) ⇔ -1 ≤ m ≤ 0 .
Câu 9: Cho hai tập hợp A = [-2; 3]; B = (m; m+6). Điều kiện để A ⊂ B là:
A. -3 ≤ m ≤ -2
B. -3 < m < -2
C. m < -3
D. m ≥ -2
Hướng dẫn:
Chọn B.
Điều kiện để A ⊂ B là m < -2 < 3 < m + 6 ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}
m < – 2\\
m + 6 > 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < – 2\\
m > – 3
\end{array} \right.\)⇔ -3 < m < 2 .
Câu 10: Cho hai tập hợp X = (0; 3] và Y = (a; 4). Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ ∅ .
A. \(\left[ \begin{array}{l}
a < 3\\
a \ge 4
\end{array} \right.\) .
B. a < 3.
C. a < 0.
D. a > 3.
Hướng dẫn:
Chọn B.
Xét: X ∩ Y ≠ ∅ ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
a < 3\\
a > 4
\end{array} \right.\) ⇔ 3 ≤ a ≤ 4
⇒ X ∩ Y ≠ ∅ ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
a < 3\\
a > 4
\end{array} \right.\) . Mà theo đề bài, a ≤ 4 nên suy ra a < 3.
Vậy với a < 3 thì X ∩ Y ≠ ∅ .
Để lại một bình luận