Lý thuyết Bài tập cuối chương 7 – Kết nối

Lý thuyết Bài tập cuối chương 7
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \)được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó vuông góc với \(\Delta \).

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow u \) khác \(\overrightarrow 0 \) được goi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(\Delta \).

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow u \), hay

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số).

1.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

\({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) vô nghiệm.

\({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

b) Góc giữa hai đường thẳng

– Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

– Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

– Cho hai đường thẳng

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

c) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

1.3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

a) Phương trình đường tròn

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi

\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\).   (1)

Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

b) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường tròn \((C):{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến \(\Delta \) của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( {a – {x_0};b – {y_0}} \right)\) và phương trình

\(\left( {a – {x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {b – {y_0}} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\) 

1.4. Ba đường conic

a) Elip

Cho hai điểm cố định và phân biệt \({F_1},{F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gợi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1},{F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gợi là tiêu cự của elip đó. 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điềm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).             (2)

Ngược lại, mỗi phương trinh có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} – {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} – {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trinh (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

b) Hypebol

Cho hai điểm phân biệt có định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2c\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({{F_1},{F_2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là
tiêu cự của hypebol đó. 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\).      (4)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

c) Parabol

Cho một điểm F có định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. 

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình

\({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0)        (5)

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}\). 

Bài tập minh họa

Câu 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x – 4y -1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta\) song song với d: 3x – 4y -1 = 0.

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n}(3; -4)\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta \) có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow{u}(4; 3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) là:

\(\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\ y=2+3t\end{matrix}\right.\)

Câu 2: Tính góc giữa hai đường thẳng: \(\Delta _{1}\): x + 3y + 2 = 0 và \(\Delta _{2}\): y = 3x + 1

Hướng dẫn giải

\(\Delta _{1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{1}}(1; 3)\) 

\(\Delta _{2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(3; -1)\) 

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\), ta có:

\(cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|1.3-1.3|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0\)

Do đó góc giữa \(\Delta _{1}\) và \(\Delta _{2}\) là \(\varphi =90^{o}\).

Câu 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại điểm N(1; 0).

Hướng dẫn giải

Do 12 + 02 – 2.1 + 4.0 + 1 = 0, nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{IN}(0;2)\)

Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x – 1) + 2(y – 0) = 0 hay y = 0

Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.\) 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta\) qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(4; 3)\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.

Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là: \(d(M;\Delta )=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1\)

Vậy khoảng cách từ M đến \(\Delta\) là 1.

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối