Lý thuyết Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Chân trời

Lý thuyết Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Chân trời
============

1.1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 1 \le 0\\
2x – y + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
5x + y – 9 = 0\\
4x – 7y + 3 = 0
\end{array} \right.\\
c)\left\{ \begin{array}{l}
y – 1 < 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
d)\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 3 \le 0\\
 – 2x + y + 3 \ge 0\\
x \ge 0\\
y \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải

Các hệ a), e), đ) là các hệ bât phương trình bậc nhật hai ẩn.

Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ân vì hệ này chỉ gồm các phương trình

1.2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}
2x – y – 3 \le 0\\
2x – y + 2 \le 0
\end{array} \right.\)

Giải

Biểu điễn từng miền nghiêm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miễn không gạch chéo (kề cả bờ) trong (Hình bên dưới) là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miễn nghiệm của hệ bât phương trình đã cho.

1.3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\).

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức \(F(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Câu 1:  Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng cà chua.

Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

(20; 40),            (40; 20),          (-30; 10).

Hướng dẫn giải

a)

Để quy hoạch x sào đất trồng cà tím, cần \(200\,000.x\)(đồng)

Để quy hoạch y sào đất trồng cà chua, cần \(100\,000.y\)(đồng)

Tổng số tiền để mua hạt giống là \(200{\rm{ }}000.x + 100{\rm{ }}000.y\) (đồng), tối đa là 9 triệu đồng nên ta có bất phương trình: \(0,2x + 0,1y \le 9\)

Ngoài ra số sào đất là số không âm nên \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\)

b) + Cặp số (20; 40) thỏa mãn cả 3 bất phương trình trên vì \(0,2.20 + 0,1.40 = 8 < 9\).

+ Cặp số (40; 20) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \(0,2.40 + 0,1.20 = 10 > 9\).

+ Cặp số (-30; 10) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì \( – 30 < 0\).

Câu 2:  Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y – 3 \le 0\\ – 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Hướng dẫn giải

Vẽ đường thẳng \(d:x + y – 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 + 0 – 3 =  – 3 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng \(d’: – 2x + y + 3 = 0\) đi qua hai điểm \(A(1; – 1)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \( – 2.0 + 0 + 3 = 3 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d’\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

===========
Chuyên mục: Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn