Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm – Kết nối

Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số trung bình và trung vị

a. Số trung bình

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},{x_3},…,{x_n}\), kí hiệu là \(\overline x \) được tính bằng công thức: \(\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + … + {x_n}}}{n}\)

Chú ý: Trong trường hợp số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức: \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + … + {m_k}{x_k}}}{n}\) 

Trong đó \({m_k}\) là tần số của giá trị \({x_k}\) và \(n = {m_1} + {m_2} + … + {m_k}\)

Ý nghĩa: Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu. 

Ví dụ:  Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?

Giải

Số bạn trong lớp là n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40 (bạn).

Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là: 

\(\frac{{3.1 + 5.2 + 15.3 + 10.4 + 7.5}}{{40}} = 3,325\) (cuốn). 

b. Trung vị

Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau: + Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. + Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chinh giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

Ý nghĩa:  Trung vị là giá trị chia đôi mẫu só liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. 

Ví dụ: Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng. Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu vẻ lương của giám đóc và nhân viên công ty.

Giải

Đề tim trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:

+ Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm

+ Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4. Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là
giá trị bất thường. Nễu ta thay lương của giám đốc là 30; 40; 50… (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.

1.2. Tứ phân vị

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau: + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. + Tìm trung vị. Giá trị này là Q2. + Tìm trung vị của nừa số liệu bên trái Q2, (không bao gồm Q2, nếu n lẻ). Giá trị nảy là Q1. + Tim trung vị của nửa số liệu bên phải Q2, (không bao gồm Q2, nếu n lẻ). Giá trị này là Q3. Q1, Q2, Q3 được gợi là các tử phân vị của mẫu số liệu.

Chú ý:  Q1 được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, Q3 được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ý nghĩa: Các điểm Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị. 

Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1 mg = 0,001 g) trong 100 g một số loại ngũ cóc được cho như sau:

Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gi?

Giải

+ Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:

+ Vì n= 20 là số chẵn nên Q₂ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:

Q2 = (180 + 180) : 2 = 180.

+ Ta tìm Q₁ là trung vị của nủa số liệu bên trái Q2:

Và tìm được Q1 = (130 + 140) : 2 = 135.

+ Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:

và tìm được Q3 = (200 + 210) : 2 = 205

Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu

Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bỗ của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q1 đến Q2 là 45 trong khi khoảng cách từ Q2 đền Q3 là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của Q2 và mật độ thấp ở bên trái của Q2.

1.3. Mốt

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.

Ví dụ:  Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:

Tìm mốt cho mẫu số liệu này.

Giải

Vì số học sinh truy cập Intemet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.

Nhận xét

+ Mốt có thẻ không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu

các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8.

+  Khi các giá tị trong mấu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.

+ Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi “Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá nam Việt Nam?”.

Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-4-2021 kết quả bình chọn như sau:

Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn “huấn luyện viên ngoại” có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt.

Bài tập minh họa

Câu 1:  Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:

48     53     51    31      53     112     52

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?

Hướng dẫn giải

Số trung bình: \(\bar X = \frac{{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}}{7}\)\( = \frac{{400}}{7} \approx 57,14\)

Số trung vị:

Ta sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:

31   48   51   52   53   53   112

Số giá trị là 7, là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Mà giá trị chính giữa là 52.

Vậy số trung vị là 52.

Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì 112 cao hơn hẳn giá trị trung bình nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

Vậy ta dùng số trung vị để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.

Câu 2:  Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Số lần

0

1

2

3

4

5

Số học sinh

2

4

6

12

8

3

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Hướng dãn giải

Ta thấy n=2+4+6+12+8+3=35.

Trung vị là học sinh thứ 18

Ta thấy 2+4+6<18<2+4+6+12

=> \({Q_2} = 3\)

Ta tìm \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\)(không bao gồm \({Q_2}\))

Nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9:

Ta thấy 2+4<9<2+4+6

=>\({Q_1} = 2\)

Ta tìm \({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\)(không bao gồm \({Q_2}\))

Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9 trong 17 học sinh và là học sinh thứ 9+18=27 trong 35 học sinh.

Ta thấy 2+4+6+12<27<2+4+6+12+8

=>\({Q_3} = 4\)

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối