Bài 3.4 trang 55 Toán 8 Tập 1 : Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?
Lời giải:
Cách 1:
Do ABCD là hình thang có AB // CD nên ta có:
Suy ra
Hình thang ABCD có
(do 60° ≠ 80°) nên không phải là hình thang cân.
Cách 2:
Giả sử hình thang ABCD là hình thang cân. Khi đó
.
Suy ra
(không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).
Khi đó, ABCD không phải là tứ giác, điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là hình thang cân (hình thang cân cũng là tứ giác).
Do đó ABCD không phải là hình thang cân.
Bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1 : Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆DOE và ∆COE có:
(vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE);
EC = ED (giả thiết);
Cạnh OE chung
Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng) (1)
Do đó tam giác OCD cân tại O nên
.
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra
(cặp góc so le trong).
Do đó
(vì
).
Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB (2)
Ta có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD
Hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.
Bài 3.6 trang 55 Toán 8 Tập 1 : Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.
Lời giải:
Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:
– Vẽ cạnh CD = 4 cm.
– Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.
– Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 3 cm) và (C; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B.
– Nối AB, AD, BC ta được hình thang cân ABCD (như hình vẽ).
Bài 3.7 trang 55 Toán 8 Tập 1 : Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thang cân nên
.
Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của
và
.
Suy ra
.
Mà
nên
.
Xét tam giác EAB cân tại E (vì
) nên EA = EB.
Xét ∆ADE và ∆BCE có:
EA = EB (chứng minh trên);
(chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên)
Do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c).
Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).
Bài 3.8 trang 55 Toán 8 Tập 1 : Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
•Vì ABCD là hình thang cân nên
; AD = BC; AC = BD.
Xét DICD cân tại I (vì
) nên IC = ID.
Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA
Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)
•Xét ∆ABD và ∆BAC có:
AB là cạnh chung;
(chứng minh trên);
AD = BC (chứng minh trên).
Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)
Suy ra
(hai góc tương ứng).
Tam giác JAB cân tại J (vì
) nên JA = JB
Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Trả lời