Ôn tập Chương 4 SBT Toán lớp 12 – sách bài tập (SBT) Giải tích 12.
Bài 4.33 trang 210 Giải tích 12
Thực hiện các phép tính:
a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)
b) \({{2 + i\sqrt 2 } \over {1 – i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 – i\sqrt 2 }}\)
c) \({{(1 + i)(2 + i)} \over {2 – i}} + {{(1 + i)(2 – i)} \over {2 + i}}\)
Đáp án
a) 18
b) \({3 \over 2}i\sqrt 2 \)
c) \({6 \over 5}(1 + i)\)
4.34 trang 210
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính:
a) \({(2 + i\sqrt 3 )^2}\) b) \({(1 + 2i)^3}\)
c) \({(3 – i\sqrt 2 )^2}\) d) \({(2 – i)^3}\)
Hướng dẫn làm bài
a) \(1 + 4i\sqrt 3 \) b) – 11 – 2i
c) \(7 – 6i\sqrt 2 \) d) 2 – 11i
Bài 4.35 trang 210 SBT Giải tích lớp 12
Thực hiện các phép tính:
a) \({(2 + 3i)^2} – {(2 – 3i)^2}\)
b) \({{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 – i)}^3}}}\)
Đáp án
a) 24i b) 2
Bài 4.36 trang 211 Sách BT Toán 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i
b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]
Bài giải:
a) \((1 + 2i)x = – 3 – 2i\)
\(\Rightarrow x = – {{3 + 2i} \over {1 + 2i}} = – {{7 – 4i} \over 5} = – {7 \over 5} + {4 \over 5}i\)
b) \((2 – 2i)x = – (11 + 3i)\)
\(\Rightarrow x = – {{11 + 3i} \over {2(1 – i)}} = – 2 – {7 \over 2}i\)
Bài 4.37 trang 211
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x – {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 – i}} = i\sqrt 8 x\)
b) \({(1 – ix)^2} + (3 + 2i)x – 5 = 0\)
Bài làm
a) \(3{x^2} + 3x + 2 = 0\)
\(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{ – 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}\)
b) \( – {x^2} + 3x – 4 = 0\)
\(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}\)
Bài 4.38 trang 211 SBT Toán 12
Tìm số phức z, biết:
a) \(\bar z = {z^3}\) b) \(|z| + z = 3 + 4i\)
Giải
a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\) nên từ \(\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}\)
Đặt z = a+ bi , suy ra:
\({a^4} + {b^4} – 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} – {b^2})i = {a^2} + {b^2}\) (*)
Do đó, ta có: \(4ab({a^2} – {b^2}) = 0\) (**)
Từ (**) suy ra các trường hợp sau:
+) a = b = 0 ⟹ z = 0
+) \(a = 0,b \ne 0\) : Thay vào (*), ta có \({b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i\)
+) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có \(a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1 \)
+) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}\) , thay vào (*) , ta có:
2a2(2a2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) )
b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3\)
\( \Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 – a)^2} = 9 – 6a + {a^2}\)
\(\Rightarrow 6a = – 7 \Rightarrow a = – {7 \over 6}\)
Vậy \(z = – {7 \over 6} + 4i\)
Bài 4.39
Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{{|z – 2i| = |z|} \cr {|z – i| = |z – 1|} \cr} } \right.\)
Hướng dẫn làm bài
Đặt z = x + yi , ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {(y – 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr
{x^2} + {(y – 1)^2} = {(x – 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow x = 1,y = 1\)
Vậy z = 1 + i.
Bài 4.40 trang 211 SBT Giải tích 12
Chứng tỏ rằng \({{z – 1} \over {z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1.
Lời giải
Hiển nhiên nếu \(z \in R,z \ne – 1\) thì \({{z – 1} \over {z + 1}} \in R\)
Ngược lại, nếu \({{z – 1} \over {z + 1}} = a \in R\) thì \(z – 1 = az + a\) và \(a \ne 1\)
Suy ra \((1 – a)z = a + 1\Rightarrow z = {{a + 1} \over {1 – a}} \in R\) và hiển nhiên \(z \ne – 1\).
Bài 4.41 trang 211
Tìm phần ảo của số phức z , biết \(\bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 – i\sqrt 2 )\)
(Đề thi đại học năm 2010, khối A)
Đáp án
\(\eqalign{
& \bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 – i\sqrt 2 ) \cr
& = \left( {2 + 2\sqrt 2 i + {i^2}} \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) \cr
& = \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) \cr
& = 1 – \sqrt 2 i + 2\sqrt 2 i – 4{i^2} \cr
& = 5 + \sqrt 2 i \cr
& \Rightarrow z = 5 – \sqrt 2 i \cr} \)
Phân ảo của số phức \(z = – \sqrt 2 \)
Bài 4.42 trang 211
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(| z – (3 – 4i)| = 2\).
(Đề thi Đại học năm 2009, khối D)
Bài làm
Đặt \(z = x + yi\) . Từ \(|z – (3 – 4i)| = 2\) suy ra:
\({(x – 3)^2} + {(y + 4)^2} = 4\)
Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(3; -4) bán kính 2.
Bài 4.43 SBT Giải tích 12 trang 211
Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(| z – i| = |(1 + i)z|\).
(Đề thi Đại học năm 2010, khối B)
Đáp án
Đặt \(z = x + yi\). Từ \(|z – i| = |(1 + i)z|\) suy ra :
\({x^2} + {{(y +1)}^2} = 2\)
Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(0; -1) bán kính \(\sqrt 2 \).
Bài 4.44
Tìm số phức z thỏa mãn : \(|z – (2 + i)| = \sqrt {10} \) và \(z\bar z = 25\)
(Đề thi đại học năm 2009, khối B)
Đáp án
Đặt \(z = x + yi\) . Từ điều kiện của đầu bài ta được:
\({(x – 2)}^2 + {(y – 1)}^2 = 10\) và \(x^2 + y^2 = 25\)
Đáp số: z = 5 và \(z = 3 + 4i\)
Câu 4.45
Tìm số phức z, biết : \(z – (2 + 3i)\bar z = 1 – 9i\)
(Đề thi đại học năm 2011, khối D)
Hướng dẫn giải
Đặt z = x + yi. Từ điều kiện của đầu bài ta được
\(\left\{ {\matrix{{ – x – 3y = 1} \cr {3y – 3x = – 9} \cr} } \right.\)
Đáp số: z = 2 – i .
Bài 4.46 trang 211
Tìm số phức z thỏa mãn: \(|z| = \sqrt 2 \) và z2 là số thuần ảo.
(Đề thi Đại học năm 2010, khối D).
Hướng dẫn làm bài
Đặt z = x + yi . Từ điều kiện của đầu bài ta có: \(x = \pm y\) và \({x^2} + {y^2} = 2\)
Vậy \(z \in {\rm{\{ }}1 + i;1 – i; – 1 + i; – 1 – i\} \).
Trả lời