Lời giải bài tập sách bài tập (SBT) Toán Giải tích 12 Bài 2. Phép cộng và phép nhân các số phức
Giải 4.8 trang 205 SBT Giải tích 12
Thực hiện các phép tính:
a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i)
b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i)
Đáp án
a) 54 – 19i b) -15 + i
Bài 4.9 SBT Toán 12 trang 205=
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)\((5 – 7i) + \sqrt 3 x = (2 – 5i)(1 + 3i)\)
b) 5 – 2ix = (3 + 4i)(1 – 3i)
Bài làm
a) \(x = {{12} \over {\sqrt 3 }} + {8 \over {\sqrt 3 }}i\)
b) \(x = {5 \over 2} + 5i\)
Bài 4.10 SBT Toán 12
Tính các lũy thừa sau:
a) (3 – 4i)2 b) (2 + 3i)3
c) [(4 + 5i) – (4 +3i)]5 d) \({(\sqrt 2 – i\sqrt 3 )^2}\)
Hướng dẫn
a) \({(3 – 4i)^2} = {3^2} – 2.3.4i + {(4i)^2} = – 7 – 24i\)
b)\({(2 + 3i)^3} = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{(3i)^2} + {(3i)^3} = – 46 + 9i\)
c) \({{\rm{[}}(4 + 5i) – (4 + 3i){\rm{]}}^5} = {(2i)^5} = 32i\)
d) \({(\sqrt 2 – i\sqrt 3 )^2} = – 1 – 2i\sqrt 6 \)
4.11 trang 205
Tính:
a) (1 + i)2006 b) (1 – i)2006
Giải
a) \({(1 + i)^{2006}} = {({(1 + i)^2})^{1003}} = {(2i)^{1003}}.{i^{1003}} = – {2^{1003}}i\)
b) \({(1 – i)^{2006}} = {2^{1003}}.i\)
Giải bài 4.12 trang 205
Cho x, y là những số phức. Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp với nhau:
a) \(x + \bar y\) và \(\bar x + y\)
b) \(x\bar y\) và \(\bar xy\)
c) \(x – \bar y\) và \(\bar x – y\)
Hướng dẫn làm bài
a) \(\overline {x + \bar y} = \bar x + \overline {\bar y} = \bar x + y\)
b) \(\overline {x\bar y} = \bar x.\overline {\bar y} = \bar x.y\)
c) \(\overline {x – \bar y} = \bar x – \overline {\bar y} = \bar x – y\)
Bài 4.13 SBT Giải tích 12
Tính:
a) \({( – {1 \over 2} + i{{\sqrt 3 } \over 2})^3}\) b) \({({1 \over 2} + i{{\sqrt 3 } \over 2})^3}\)
Đáp án
a) 1 b) -1
Bài 4.14
Cho z = a + bi . Chứng minh rằng:
a) \({z^2} + {(\bar z)^2} = 2({a^2} – {b^2})\)
b) \({z^2} – {(\bar z)^2} = 4abi\)
c) \({z^2}{(\bar z)^2} = {({a^2} + {b^2})^2}\)
Bài làm
\({z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\)
\({(\bar z)^2} = {(a – bi)^2} = {a^2} – {b^2} – 2abi\)
\(z.\bar z = (a + bi)(a – bi) = {a^2} + {b^2}\)
Từ đó suy ra các kết quả.
Bài 4.15 SBT Toán 12 trang 206
Phân tích thành nhân tử trên tập số phức:
a) \({u^2} + {v^2}\) b) \({u^4} – {v^4}\)
Lời giải
a) \({u^2} + {v^2} = {u^2} – {(iv)^2} = (u – iv)(u + iv)\)
b) \({u^4} – {v^4} = ({u^2} – {v^2})({u^2} + {v^2}) \)
\(= (u – v)(u + v)(u – iv)(u + iv)\)
Bài 4.16
Tính giá trị của biểu thức : \(P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 – i\sqrt 3 )^2}\)
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)
Bài làm
\(\eqalign{
& P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 – i\sqrt 3 )^2} \cr
& = 1 + 2i\sqrt 3 – 3 + 1 – 2i\sqrt 3 – 3 \cr
& = – 4 \cr} \)
Bài 4.17 trang 206
a) Cho hai số phức z1 = 1 + 2i ; z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 – 2z2 .
b) Cho hai số phức z1 = 2 + 5i ; z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2
Hướng dẫn làm bài
a) Phần thực z1 – 2z2 là – 3, phần ảo của nó là 8.
b) Phần thực và phần ảo của z1.z2 tương ứng là 26 và 7.
Trả lời