Giải SBT Giải tích 12 chương 4 Bài 2. Phép cộng và phép nhân các số phức

Giải 4.8 trang 205 SBT Giải tích 12

Thực hiện các phép tính:

 a) (2  + 4i)(3 – 5i)  + 7(4 – 3i)

 b) (1 – 2i)² – (2 – 3i)(3 + 2i)

Đáp án

a) 54 – 19i                    b) -15 + i

Bài 4.9 SBT Toán 12 trang 205=

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)\((5 – 7i) + \sqrt 3 x = (2 – 5i)(1 + 3i)\)

b)  5 – 2ix = (3 + 4i)(1 – 3i)

Bài làm

a)  \(x = {{12} \over {\sqrt 3 }} + {8 \over {\sqrt 3 }}i\)

b) \(x = {5 \over 2} + 5i\)

Bài 4.10 SBT Toán 12

Tính các lũy thừa sau:

a)  (3 – 4i)²                                                         b) (2  + 3i)³

c) [(4  + 5i) – (4  +3i)]⁵                                      d) \({(\sqrt 2  – i\sqrt 3 )^2}\)

Hướng dẫn

a) \({(3 – 4i)^2} = {3^2} – 2.3.4i + {(4i)^2} =  – 7 – 24i\)

b)\({(2 + 3i)^3} = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{(3i)^2} + {(3i)^3} =  – 46 + 9i\)

c) \({{\rm{[}}(4 + 5i) – (4 + 3i){\rm{]}}^5} = {(2i)^5} = 32i\)

d) \({(\sqrt 2  – i\sqrt 3 )^2} =  – 1 – 2i\sqrt 6 \)

4.11 trang 205

Tính:

a) (1  + i)²⁰⁰⁶                                              b) (1 – i)²⁰⁰⁶

Giải

a) \({(1 + i)^{2006}} = {({(1 + i)^2})^{1003}} = {(2i)^{1003}}.{i^{1003}} =  – {2^{1003}}i\)

b) \({(1 – i)^{2006}} = {2^{1003}}.i\)

Giải bài 4.12 trang 205

Cho x, y là những số phức. Chứng minh rằng mỗi cặp số sau là hai số phức liên hợp với nhau:

a) \(x + \bar y\)  và \(\bar x + y\)

b) \(x\bar y\) và  \(\bar xy\)

c) \(x – \bar y\) và \(\bar x – y\)

Hướng dẫn làm bài

a) \(\overline {x + \bar y}  = \bar x + \overline {\bar y}  = \bar x + y\)

b) \(\overline {x\bar y}  = \bar x.\overline {\bar y}  = \bar x.y\)

c) \(\overline {x – \bar y}  = \bar x – \overline {\bar y}  = \bar x – y\)

Bài 4.13 SBT Giải tích 12

Tính:

a) \({( – {1 \over 2} + i{{\sqrt 3 } \over 2})^3}\)                               b) \({({1 \over 2} + i{{\sqrt 3 } \over 2})^3}\)

Đáp án

a) 1                                                         b) -1

Bài 4.14

Cho z = a + bi . Chứng minh rằng:

a) \({z^2} + {(\bar z)^2} = 2({a^2} – {b^2})\)

b) \({z^2} – {(\bar z)^2} = 4abi\)

c) \({z^2}{(\bar z)^2} = {({a^2} + {b^2})^2}\)

Bài làm

\({z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\)

\({(\bar z)^2} = {(a – bi)^2} = {a^2} – {b^2} – 2abi\)

\(z.\bar z = (a + bi)(a – bi) = {a^2} + {b^2}\)

Từ đó suy ra các kết quả.

Bài 4.15 SBT Toán 12 trang 206

Phân tích thành nhân tử trên tập số phức:

a) \({u^2} + {v^2}\)                                                             b) \({u^4} – {v^4}\)

Lời giải

a) \({u^2} + {v^2} = {u^2} – {(iv)^2} = (u – iv)(u + iv)\)

b) \({u^4} – {v^4} = ({u^2} – {v^2})({u^2} + {v^2}) \)

\(= (u – v)(u + v)(u – iv)(u + iv)\)

Bài 4.16

 Tính giá trị của biểu thức : \(P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 – i\sqrt 3 )^2}\)

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Bài làm

\(\eqalign{
& P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 – i\sqrt 3 )^2} \cr
& = 1 + 2i\sqrt 3 – 3 + 1 – 2i\sqrt 3 – 3 \cr
& = – 4 \cr} \)

Bài 4.17 trang 206

a) Cho hai số phức z₁ = 1  + 2i ; z₂ = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z₁ – 2z₂ .

b) Cho hai số phức  z₁ = 2  + 5i ; z₂ = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức  z₁.z₂

Hướng dẫn làm bài

a) Phần thực z₁ – 2z₂ là – 3, phần ảo của nó là 8.

b) Phần thực và phần ảo của z₁.z₂ tương ứng là 26 và 7.