Bài 1. Nguyên hàm – SBT Toán lớp 12
Bài 3.1 trang 170 Giải tích 12
Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:
a) \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g(x) = {e^{\sin x}}\)
c)\(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) và \(g(x) = – {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)
d) \(f(x) = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} – 2x + 2} \)
e) \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) và \(g(x) = (2x – 1){e^{{1 \over x}}}\)
Hướng dẫn làm bài
a) Hàm số \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là một nguyên hàm của \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
b) Hàm số \(g(x) = {e^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\)
c) Hàm số \(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = – {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)
d) Hàm số \(g(x) = \sqrt {{x^2} – 2x + 2} \) là một nguyên hàm của hàm số (f(x) = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }}\)
e) Hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (2x – 1){e^{{1 \over x}}}\)
Bài 3.2 trang 170 SBT Toán 12
Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x – 3}}\) và \(G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}}\)
b) \(F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\) và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)
c) \(F(x) = 5 + 2{\sin ^2}x\) và \(G(x) = 1 – \cos 2x\)
Hướng dẫn giải
a) Vì \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x – 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}} + 3 = G(x) + 3\) nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = {{2{x^2} – 6x – 20} \over {{{(2x – 3)}^2}}}\)
b) Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = – {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\)
c) Vì \(F'(x) = (5 + 2{\sin ^2}x)’ = 2\sin 2x\) và \(G'(x) = (1 – \cos 2x)’ = 2\sin 2x\) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x
Bài 3.3 trang 171 SBT Toán giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(x – 9)^4}\)
b) \(f(x) = {1 \over {{{(2 – x)}^2}}}\)
c) \(f(x) = {x \over {\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
d) \(f(x) = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}\)
e) \(f(x) = {{1 – \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}\)
g) \(f(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}\)
Lời giải
a) \(F(x) = {{{{(x – 9)}^5}} \over 5} + C\)
b) \(F(x) = {1 \over {2 – x}} + C\)
c) \(F(x) = – \sqrt {1 – {x^2}} + C\)
d) \(F(x) = \sqrt {2x + 1} + C\)
e) \(F(x) = 2(\tan x – x) + C\) .
HD: Vì \(f(x) = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2({1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1)\)
g) \(F(x) = \ln ({x^2} + x + 1) + C\). HD: Đặt u = x2 + x + 1 , ta có u’ = 2x + 1
Bài 3.4 trang 171 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(\int {{x^2}\root 3 \of {1 + {x^3}} } dx\) với x > – 1 (đặt t = 1 + x3)
b) \(\int {x{e^{ – {x^2}}}} dx\) (đặt t = x2)
c) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\) (đặt t = 1 + x2)
d) \(\int {{1 \over {(1 – x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \) )
e) \(\int {\sin {1 \over x}.{1 \over {{x^2}}}} dx\) (Đặt \(t = {1 \over x}\) )
g) \(\int {{{{{(\ln x)}^2}} \over x}} dx\) (đặt \(t = \ln x\))
h) \(\int {{{\sin x} \over {\root 3 \of {{{\cos }^2}x} }}} dx\) (đặt t = cos x)
i) \(\int {\cos x} {\sin ^3}xdx\) (đặt t = sin x)
k) \(\int {{1 \over {{e^x} – {e^{ – x}}}}} dx\) (đặt \(t = {e^x}\))
l) \(\int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x – \cos x} }}} dx\) (đặt \(t = \sin x – \cos x\) )
Hướng dẫn làm bài
a) \({1 \over 4}{(1 + {x^3})^{{4 \over 3}}} + C\)
b\(- {1 \over 2}{e^{ – {x^2}}} + C\)
c) \( – {1 \over {2(1 + {x^2})}} + C\)
d) \(\ln |{{1 + \sqrt x } \over {1 – \sqrt x }}| + C\)
e) \(\cos {1 \over x} + C\)
g) \({1 \over 3}{(\ln x)^3} + C\)
h) \( – 3\root 3 \of {\cos x} + C\)
i) \({1 \over 4}{\sin ^4}x + C\)
k) \({1 \over 2}\ln |{{{e^x} – 1} \over {{e^x} + 1}}| + C\)
l) \(2\sqrt {\sin x – \cos x} + C\)
Bài 3.5 trang 171
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(\int {(1 – 2x){e^x}} dx\)
b) \(\int {x{e^{ – x}}dx} \)
c) \(\int {x\ln (1 – x)dx} \)
d) \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \)
e) \(\int {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)
g) \(\int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx} \)
h) \(\int {x\ln {{1 + x} \over {1 – x}}dx} \)
Lời giải
a) \((3 – 2x){e^x} + C\)
b) \( – (1 + x){e^{ – x}} + C\)
c) \({{{x^2}} \over 2}\ln (1 – x) – {1 \over 2}\ln (1 – x) – {1 \over 4}{(1 + x)^2} + C\).
d) \({{{x^2}} \over 4} – {x \over 4}\sin 2x – {1 \over 8}\cos 2x + C\)
HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx
e) \(x\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) – \sqrt {1 + {x^2}} + C\) .
HD: Đặt \(u = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và dv = dx
g) \({2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}({(\ln x)^2} – {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}) + C\)
HD: Đặt \(u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dx\)
h) \(x – {{1 – {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 – x}} + C\)
HD: \(u = \ln {{1 + x} \over {1 – x}},dv = xdx\)
Bài 3.7
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a) \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
b) \(\int {{1 \over {{{\sin }^3}x}}dx} \)
c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)
d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)
e) \(\int {{1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}}} dx\)
g)\(\int {{{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}}} dx\)
Bài giải
a) \({3 \over 8}x – {{\sin 2x} \over 4} + {{\sin 4x} \over {32}} + C\)
HD: \({\sin ^4}x = {{{{(1 – \cos 2x)}^2}} \over 4} = {1 \over 4}({3 \over 2} – 2\cos 2x + {1 \over 2}\cos 4x)\)
b)\({1 \over 2}\ln |\tan {x \over 2}| – {{\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} + C\)
Hd: Đặt u = cot x
c) \({\cos ^5}x({{{{\cos }^2}x} \over 7} – {1 \over 5}) + C\) . HD: Đặt u = cos x
d) \({1 \over {128}}(3x – \sin 4x + {1 \over 8}\sin 8x) + C\)
HD: \({\sin ^4}x{\cos ^4}x = {1 \over {{2^4}}}{({\sin ^2}2x)^2} = {1 \over {{2^6}}}{(1 – \cos 4x)^2}\)
e) \(\ln |\tan ({x \over 2} + {\pi \over 4})| – {1 \over {\sin x}} + C\) .
HD:\({1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}} = {{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \over {\cos x{{\sin }^2}x}}\)
g) \(\tan {x \over 2} – 2\ln |\cos {x \over 2}| + C\) . HD: \({{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}} = {1 \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}} + {{\sin {x \over 2}} \over {\cos {x \over 2}}}\)
Bài 3.6
Tính các nguyên hàm sau:
a) \(\int {x{{(3 – x)}^5}dx} \)
b) \(\int {{{({2^x} – {3^x})}^2}} dx\)
c) \(\int {x\sqrt {2 – 5x} dx} \)
d) \(\int {{{\ln (\cos x)} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\)
e) \(\int {{x \over {{{\sin }^2}x}}} dx\)
g) \(\int {{{x + 1} \over {(x – 2)(x + 3)}}dx} \)
h) \(\int {{1 \over {1 – \sqrt x }}} dx\)
i) \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)
k) \(\int {{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\)
l) \(\int {{{\sin x\cos x} \over {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} }}} dx,({a^2} \ne {b^2})\)
HD: Đặt \(u = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \)
Hướng dẫn làm bài
a) \({(3 – x)^6}({{3 – x} \over 7} – {1 \over 2}) + C\) .
HD: t = 3 – x
b) \({{{4^x}} \over {\ln 4}} – 2{{{6^x}} \over {\ln 6}} + {{{9^x}} \over {\ln 9}} + C\)
c) \( – {{8 + 30x} \over {375}}{(2 – 5x)^{{3 \over 2}}} + C\).
HD: Dựa vào \(x = – {1 \over 5}(2 – 5x) + {2 \over 5}\)
d) \(\tan x{\rm{[}}\ln (\cos x) + 1] – x + C\) . HD: Đặt \(u = \ln (\cos x),dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\)
e) \( – x\cot x + \ln |\sin x| + C\) . HD: Đặt \(u = x,dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}}\)
g) \({1 \over 5}\ln [|x – 2{|^3}{(x + 3)^2}{\rm{]}} + C\)
HD: Ta có \({{x + 1} \over {(x – 2)(x + 3)}} = {3 \over {5(x – 2)}} + {2 \over {5(x + 3)}}\)
h) \( – 2(\sqrt x + \ln |1 – \sqrt x |) + C\).
HD: Đặt \(t = \sqrt x \)
i) \( – {1 \over 2}(\cos x + {1 \over 5}cos5x) + C\) .
HD: \(\sin 3x.c\cos 2x = {1 \over 2}(\sin x + \sin 5x)\)
k) \(\cos x + {1 \over {\cos x}} + C\) .
HD: Đặt u = cos x
l) \({1 \over {{a^2} – {b^2}}}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} + C\)
Giải bài 3.8
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {1 \over {1 + \sin x}}\) ?
a)\F(x) = 1 – \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})\)
b) \(G(x) = 2\tan {x \over 2}\)
c) \(H(x) = \ln (1 + \sin x)\)
d) \(K(x) = 2(1 – {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})\)
Đáp án
a) \(F(x) = 1 – \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})\)
d) \(K(x) = 2(1 – {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})\)
Bài 3.9 trang 173
Tính các nguyên hàm sau đây:
a) \(\int {(x + \ln x){x^2}dx} \) b) \(\int {(x + {{\sin }^2}x)\sin xdx} \)
c) \(\int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx} \) d)\(\int {(x + \sin x){{dx} \over {{{\cos }^2}x}}} \)
e) \(\int {{{{e^x}\cos x + ({e^x} + 1)\sin x} \over {{e^x}\sin x}}} dx\)
Hướng dẫn làm bài
a) \({{{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}(\ln x – {1 \over 3}) + C\) . HD: Đặt \(u = x + \ln x;dv = {x^2}dx\)
b) \(\sin x – (x + 1)\cos x + {1 \over 3}{\cos ^3}x + C\)
HD: Đặt \(u = x + {\sin ^2}x,dv = \sin xdx\)
c) \({{{e^{2x}}} \over {12}}(4{e^x} + 6x – 3) + C\) . HD: Đặt \(u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dx\)
d) \(x\tan x + \ln |\cos x| + {1 \over {\cos x}} + C\). HD: Đặt \(u = x + \sin x,dv = d(\tan x)\)
e) \(\ln |{e^x}\sin x| – {e^{ – x}} + C\) . HD: \(d({e^x}\sin x) = ({e^x}\sin x + {e^x}\cos x)dx\)
Trả lời