Giải SBT Giải tích 12 chương 3 Bài 3 Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3.21 trang 184 SBT Giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – x²  , x  + y = 2 ;

b) y = x³ – 12x , y = x²

c) x  + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ;

d) \(y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}\)

e) y = x³ – 1 và tiếp tuyến với y = x³ – 1 tại điểm (-1; -2).

Bài giải

a) \({1 \over 6}\)

b) \(78{1 \over {12}}\)  .HD: \(S = \int\limits_{ – 3}^0 {({x^3} – 12x – {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} – {x^3} + 12x)dx} \)

c) 2 ; HD: \(S = 4\int\limits_0^1 {(1 – x)dx} \)

d) \({\pi  \over 2} – 1\)

HD: \(S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} – {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx}  – 1} \)

Đặt \(x = \tan t\)  để tính \(\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx\)

e)  \({{27} \over 4}\) .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích :\(S = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 1 – {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 2 – {x^3})dx} } \)

Bài 3.22 trang 184 SBT Toán Giải tích 12

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi:  y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x² + y² = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Giải

a) \({1 \over 3}\)  .

HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}}0;1]\) là hình vuông cạnh bằng x , S(x) = x² .

Vậy  \(V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} } \)

b) \({{16} \over 3}\) .

HD: (H.83) Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}} – 1;1]\)  là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \) . Khi đó,  \(AB = 2\sqrt {1 – {x^2}} \). Diện tích thiết diện là:  \(S(x) = 4(1 – {x^2})\) .

Vậy \(V = 4\int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 – {x^2})dx = {{16} \over 3}} } \)

Bài 3.23

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – x² , y = 1 , quanh trục Ox.

b) y = 2x – x² , y = x , quanh trục Ox.

c) \(y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục Oy.

d) y  = x² + 1 , x = 0 và tiếp tuyến với y = x² + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.

e) y = ln x , y = 0 , x = e , quanh trục Oy.

Hướng dẫn làm bài

a) \({{56} \over {15}}\pi \)

b) \({\pi  \over 5}\)

c) \({{480} \over 7}\pi \) . HD: Xem hình

d) \({8 \over {15}}\pi \)

e) \({{{e^2} + 1} \over 2}\pi \)

Bài 3.24

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  \(y = {1 \over x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi  \(a \to  + \infty \) (tức là  \(\mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } V(a)\)).

Bài làm

\(V(a) = \pi (1 – {1 \over a})\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } V(a) = \pi \)

Bài 3.25 SBT Toán 12 trang 185

Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ – x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích S_n của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\)  và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Đáp án

a) \({S_n} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n} – 1}}}}\) . HD: Theo hình 80 ta có:

\({S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ – {1 \over n}}} + {e^{ – 2{1 \over n}}} + … + {e^{ – {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ – {1 \over n}}}{{1 – {e^{ – 1}}} \over {1 – {e^{ – {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} – 1}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 – {e^{ – 1}}\)

Mặt khác  \(\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}dx = 1 – {e^{ – 1}}} \)

Câu 3.26

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a)  \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\)  và \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

b) \(\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) ;

c) {y = 2x – x² , y = x} và {y = 2x – x² , y = 2 – x };

d) \({\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \)  và \({\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \);

e) \({\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\)  và \({\rm{\{ }}y = \sqrt {1 – {x^2}} ,y = 1 – x{\rm{\} }}\)

Đáp án

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

e) Sai