Giải bài tập Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân – SBT Toán đại lớp 12
Bài 3.21 trang 184 SBT Giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = 2x – x2 , x + y = 2 ;
b) y = x3 – 12x , y = x2
c) x + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ;
d) \(y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}\)
e) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với y = x3 – 1 tại điểm (-1; -2).
Bài giải
a) \({1 \over 6}\)
b) \(78{1 \over {12}}\) .HD: \(S = \int\limits_{ – 3}^0 {({x^3} – 12x – {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} – {x^3} + 12x)dx} \)
c) 2 ; HD: \(S = 4\int\limits_0^1 {(1 – x)dx} \)
d) \({\pi \over 2} – 1\)
HD: \(S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} – {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx} – 1} \)
Đặt \(x = \tan t\) để tính \(\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx\)
e) \({{27} \over 4}\) .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích :\(S = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 1 – {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 2 – {x^3})dx} } \)
Bài 3.22 trang 184 SBT Toán Giải tích 12
Tính thể tích vật thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
Giải
a) \({1 \over 3}\) .
HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}}0;1]\) là hình vuông cạnh bằng x , S(x) = x2 .
Vậy \(V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} } \)
b) \({{16} \over 3}\) .
HD: (H.83) Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}} – 1;1]\) là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \) . Khi đó, \(AB = 2\sqrt {1 – {x^2}} \). Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 4(1 – {x^2})\) .
Vậy \(V = 4\int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 – {x^2})dx = {{16} \over 3}} } \)
Bài 3.23
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 – x2 , y = 1 , quanh trục Ox.
b) y = 2x – x2 , y = x , quanh trục Ox.
c) \(y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục Oy.
d) y = x2 + 1 , x = 0 và tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.
e) y = ln x , y = 0 , x = e , quanh trục Oy.
Hướng dẫn làm bài
a) \({{56} \over {15}}\pi \)
b) \({\pi \over 5}\)
c) \({{480} \over 7}\pi \) . HD: Xem hình
d) \({8 \over {15}}\pi \)
e) \({{{e^2} + 1} \over 2}\pi \)
Bài 3.24
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {1 \over x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi \(a \to + \infty \) (tức là \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)\)).
Bài làm
\(V(a) = \pi (1 – {1 \over a})\) và \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi \)
Bài 3.25 SBT Toán 12 trang 185
Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ – x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).
a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.
Đáp án
a) \({S_n} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n} – 1}}}}\) . HD: Theo hình 80 ta có:
\({S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ – {1 \over n}}} + {e^{ – 2{1 \over n}}} + … + {e^{ – {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ – {1 \over n}}}{{1 – {e^{ – 1}}} \over {1 – {e^{ – {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 – {e^{ – 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} – 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 – {e^{ – 1}}\)
Mặt khác \(\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}dx = 1 – {e^{ – 1}}} \)
Câu 3.26
Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
a) \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)
b) \(\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) ;
c) {y = 2x – x2 , y = x} và {y = 2x – x2 , y = 2 – x };
d) \({\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \) và \({\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \);
e) \({\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \sqrt {1 – {x^2}} ,y = 1 – x{\rm{\} }}\)
Đáp án
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
e) Sai
Trả lời