GIẢI CHI TIẾT Giải SBT Bài 3 Chương 5 – SBT Toán 10 CÁNH DIỀU
===========
Giải bài 20 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tổ hợp chập k của n phần tử đó là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Một tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.
C. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Tất cả tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.
Phương pháp giải
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Lời giải chi tiết
Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.
Vậy ta chọn phương án B.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 21 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).
B. \(C_n^k = C_n^{n – k}\)
C. \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{\left( {n – k} \right)!}}\)
D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\)
Phương pháp giải
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.
Ta có \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\).
Theo tính chất của các số \(C_n^k\), ta có \(C_n^k = C_n^{n – k}\)
Lời giải chi tiết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.
Ta có \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\).
Do đó phương án A, D đúng.
Theo tính chất của các số \(C_n^k\), ta có \(C_n^k = C_n^{n – k}\)
Do đó phương án B đúng.
Suy ra phương án C sai.
Vậy ta chọn phương án C.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 22 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt.
Phương pháp giải
Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt đã cho.
Lời giải chi tiết
Mỗi cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là một tổ hợp chập 2 của 10.
Số cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là: \(C_{10}^2\) = 45 (cách chọn).
Vậy có 45 đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 23 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.
Phương pháp giải
Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n – 2} \right)!}}\).
Lời giải chi tiết
Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.
Tức là, \(\frac{{n!}}{{2!\left( {n – 2} \right)!}}\)
Suy ra \(\frac{{\left( {n – 2} \right)!.\left( {n – 1} \right).n}}{{2.\left( {n – 2} \right)!}} = {\rm{ }}78\)
Khi đó \(\frac{{\left( {n – 1} \right).n}}{2} = 78\)
Do đó n2 – n = 156.
Vì vậy n2 – n – 156 = 0.
Suy ra n = 13 hoặc n = –12.
Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.
Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 24 trang 14 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh.
Phương pháp giải
Đa giác lồi có 12 đỉnh thì có 12 cạnh.
Số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là một tổ hợp chập 2 của 12.
Lời giải chi tiết
Suy ra số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là: \(C_{12}^2\) (cách chọn).
Vậy số đường chéo cần tìm là \(C_{12}^2\) -12 = 54.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 25 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.
Phương pháp giải
Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có \(C_n^2 – n\; = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n – 2} \right)!}} – n\).
Lời giải chi tiết
Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.
Tức là, \(\frac{{n!}}{{2!.\left( {n – 2} \right)!}}\) – n = 170.
Suy ra \(\frac{{\left( {n – 2} \right)!.\left( {n – 1} \right).n}}{{2.\left( {n – 2} \right)!}}\) – n = 170.
Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.
Vì vậy n2 – 3n – 340 = 0.
Suy ra n = 20 hoặc n = –17.
Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.
Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 26 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại A màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A?
Phương pháp giải
Cửa hàng đó có tất cả 20 + 15 = 35 (chiếc ghế).
Lời giải chi tiết
Mỗi cách chọn 2 chiếc ghế trong tổng số 35 chiếc là một tổ hợp chập 2 của 35.
Vậy số cách chọn 2 chiếc ghế loại A trong tổng số 35 chiếc ghế là: \(C_{35}^2\)=595.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
Giải bài 27 trang 13 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD
Chứng minh rằng:
a) \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
Phương pháp giải
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\(\begin{array}{l}
kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{k.n!}}{{k.\left( {k – 1} \right)!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{n.\left( {n – 1} \right)!}}{{\left( {k – 1} \right)!.\left( {\left( {n – 1} \right) – \left( {k – 1} \right)} \right)!}}\\
= nC_{n – 1}^{k – 1}
\end{array}\)
Vậy \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
b) Ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) – \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) – \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}
\end{array}\)
Vậy \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 5 Bài 3
=======
THUỘC: Giải sách bài tập toán 10 – Cánh diều
Để lại một bình luận