Giải chuyên đề Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn – Toán 10 Chân trời
Thực hành 1 trang 14
Ba vận động viên Hùng, Dũng và Mạnh tham gia thi đấu nội dung ba môn phối hợp: chạy, bơi và đạp xe, trong đó tốc độ trung bình của họ trên mỗi chặng đua được cho ở bảng dưới đây.
Biết tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Hùng là 1 giờ 1 phút 30 giây, của Dũng là 1 giờ 3 phút 40 giây và của Mạnh là 1 giờ 1 phút 55 giây. Tính cự li của mỗi chặng đua.
Lời giải chi tiết
Gọi cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe là x,y,z (đơn vị km) (\(x,y,z > 0\))
Tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Hùng là 1 giờ 1 phút 30 giây = 1,025 giờ, nên ta có:
\(\frac{x}{{12,5}} + \frac{y}{{3,6}} + \frac{z}{{48}} = 1,025\)
Tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Dũng là 1 giờ 3 phút 40 giây = \(\frac{{191}}{{180}}\)giờ, nên ta có:
\(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{3,75}} + \frac{z}{{45}} = \frac{{191}}{{180}}\)
Tổng thời gian thi đấu ba môn phối hợp của Mạnh là 1 giờ 1 phút 55 giây = \(\frac{{743}}{{720}}\)giờ, nên ta có:
\(\frac{x}{{12,5}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{45}} = \frac{{743}}{{720}}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{12,5}} + \frac{y}{{3,6}} + \frac{z}{{48}} = 1,025\\\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{3,75}} + \frac{z}{{45}} = \frac{{191}}{{180}}\\\frac{x}{{12,5}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{45}} = \frac{{743}}{{720}}\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \(x = 5;y = 0,75;z = 20\)
Vậy cự li chạy là 5km, cự li bơi là 0,75km và cự li đạp xe là 20km.
Thực hành 2
Một nhà hóa học có ba dung dịch cùng một loại acid nhưng với nồng độ khác nhau là 10%, 20% và 40%. Trong một thí nghiệm, để tạo ra 100ml dung dịch nồng độ 18%, nhà hóa học đã sử dụng lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%. Tính số mililit dung dịch mỗi loại mà nhà hóa học đó đã sử dụng trong thí nghiệm này.
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi số mililit dung dịch mỗi loại 10%, 20% và 40% sử dụng trong thí nghiệm là x, y, z (đơn vị mililit) \((x,y,z > 0)\)
Tạo ra 100ml dung dịch mới nên ta có: \(x + y + z = 100\)
Khối lượng chất tan trong dung dịch mới là: \(10\% x + 20\% y + 40\% z = 18\% .100 \Leftrightarrow 0,1x + 0,2y + 0,4z = 18\)
Lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40% nên \(x = 4z\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\0,1x + 0,2y + 0,4z = 18\\x – 4z = 0\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \(x = 40;y = 50;z = 10\)
Vậy nhà hóa học đó đã dùng 40ml dung dịch 10%, 50ml dung dịch 20%,10ml dung dịch 40%.
Vận dụng 1
Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3, 4, 7 và tổng số tế bào con tạo ra là 480. Biết rằng khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C. Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra. Tính số tế bào con mỗi loại lúc ban đầu.
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc đầu là x, y, z (tế bào) \((x,y,z \in \mathbb{N})\)
Tổng số tế bào con tạo ra là 480 tế bào nên \(x{.2^3} + y{.2^4} + z{.2^7} = 480\)
Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C nên \(y = x + z\)
Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra nên \(x{.2^3} + z{.2^7} = 5y{.2^4}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x{.2^3} + y{.2^4} + z{.2^7} = 480\\y = x + z\\x{.2^3} + z{.2^7} = 5y{.2^4}\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \(x = 2;y = 5;z = 3\)
Vậy ban đầu có 2 tế bào loại A, 5 tế bào loại B và 3 tế bào loại C.
Vận dụng 2
Cho sơ đồ mạch điện như Hình 2. Tính các cường độ dòng điện \({I_1},{I_2},{I_3}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}{U_{AB}} = – {E_1} + {I_1}{R_1} = – 4 + 16{I_1}\\{U_{AB}} = {I_2}{R_2} = 8{I_2}\\{U_{AB}} = {E_2} – {I_3}{R_3} = 5 – 4{I_3}\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 + 16{I_1} = 8{I_2}\\5 – 4{I_3} = 8{I_2}\end{array} \right.\)
Tại nút B: \({I_1} + {I_2} = {I_3}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}16{I_1} – 8{I_2} = 4\\8{I_2} + 4{I_3} = 5\\{I_1} + {I_2} – {I_3} = 0\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \({I_1} = \frac{{11}}{{28}},{I_2} = \frac{2}{7},{I_3} = \frac{{19}}{{28}}\)
Vậy \({I_1} = \frac{{11}}{{28}}A,{I_2} = \frac{2}{7}A,{I_3} = \frac{{19}}{{28}}A\)
MỤC 3 TRANG 20
Câu 1
Xét thị trường chè, cà phê và cacao. Gọi x,y và z lần lượt là giá của 1kg chè, 1 kg cà phê và 1 kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\)). Các lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho như bảng sau
Tìm giá của mỗi kilogam chè, cà phê và ca cao để thị trường cân bằng.
Lời giải chi tiết:
Để tìm giá của mỗi kilogam chè, cà phê và ca cao, ta xét hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{{S_1}}} = {Q_{{D_1}}}\\{Q_{{S_2}}} = {Q_{{D_2}}}\\{Q_{{S_3}}} = {Q_{{D_3}}}\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l} – 380 + x + y = 350 – x – z\\ – 405 + x + 2y – z = 760 – 2y – z\\ – 350 – 2x + 3z = 145 – x + y – z\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + z = 730\\x + 4y = 1165\\ – x – y + 4z = 495\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: \(x = 125;y = 260;z = 220\)
Vậy để thị trường cân bằng thì giá 1kg chè là 125 nghìn đồng, 1kg cà phê giá 260 nghìn đồng và 1kg ca cao giá 220 nghìn đồng.
Câu 2
Để mở rộng sản xuất, một công ty đã vay 800 triệu đồng từ ba ngân hàng A, B và C, với lãi suất cho vay theo năm lần lượt là 6%, 8% và 9%. Biết rằng tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng và số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau. Tính số tiền công ty đã vay từ mỗi ngân hàng.
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi số tiền công ty đã vay từ mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (đơn vị triệu đồng) \(\left( {x,y,z > 0} \right)\)
Tổng số tiền vay là 800 triệu đồng nên \(x + y + z = 800\)
tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng nên: \(6\% .x + 8\% .y + 9\% z = 60\)
Số tiền lãi năm đầu phải trả cho ngân hàng A và C là bằng nhau nên ta có: \(6\% .x = 9\% z\)
Thu gọn ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 800\\0,06x + 0,08y + 0,09z = 60\\0,06x – 0,09z = 0\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được \(x = 300,y = 300,z = 200\)
Vậy công ty đó đã vay 300 triệu đồng từ ngân hàng A, 300 triệu đồng từ ngân hàng B và 200 triệu đồng từ ngân hàng C.
Câu 3
Một công ty sản suất ba loại phân bón:
– Loại A có chứa 18% nito, 4% photphat và 5% kali
– Loại B có chứa 20% nito, 4% photphat và 4% kali
– Loại C có chứa 24% nito, 3% photphat và 6% kali
Công ty sản xuất bao nhiêu kilogam mỗi loại phân bón trên? Biết rằng công ty đã dùng hết 26 400 kg nito, 4900 kg photphat, 6200 kg kali.
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi số kg ba loại phân bón A, B, C mà công ty sản xuất lần lượt là x, y, z (đơn vị kg) \(\left( {x,y,z \ge 0} \right)\)
Công ty đã dùng 26 400 kg nito nên \(0,18x + 0,2y + 0,24z = 26400\)
Đã dùng 4900 kg photphat nên \(0,04x + 0,04y + 0,03z = 4900\)
Đã dùng 6200 kg kali nên \(0,05x + 0,04y + 0,06z = 6200\)
Ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0,18x + 0,2y + 0,24z = 26400\\0,04x + 0,04y + 0,03z = 4900\\0,05x + 0,04y + 0,06z = 6200\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được \(x = 40\,000,y = 60\,000,z = 30\,000\)
Vậy công ty sản xuất 40 000 kg phân bón loại A, 60 000 kg phân bón loại B và 30 000 kg phân bón loại C.
BÀI 1 TRANG 21
Đề bài
Một đại lí bán ba mẫu máy điều hoà A, B và C, với giá bán mỗi chiếc theo từng mẫu làn lượt là 8 triệu đồng, 10 triệu đồng và 12 triệu đồng. Tháng trước, đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu và thu được số tiển là 980 triệu đồng. Tính số lượng máy điều hoà mỗi mẫu đại lí bán được trong tháng trước, biết rằng số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước là x, y, z (đơn vị: chiếc) \((x,y,z \in \mathbb{N})\)
Tháng trước, đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu nên ta có: \(x + y + z = 100\)
Thu được số tiển là 980 triệu đồng nên ta có: \(8x + 10y + 12z = 980\)
Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau hay \(8x = 12z\)
Ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\8x + 10y + 12z = 980\\8x – 12z = 0\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được \(x = 30,y = 50,z = 20\)
Vậytháng trước đại lí đã bán 30 chiếc điều hòa loại A, 50 chiếc loại B và 20 chiếc loại C.
BÀI 2 TRANG 21
Đề bài
Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, một trường Trung học phố thông đã tổ chức cho học sinh tham gia các trò chơi. Ban tổ chức đã chọn 100 bạn và chia thành ba nhóm A, B, C để tham gia trò chơi thứ nhất. Sau khi trò chơi kết thúc, ban tổ chức chuyển \(\frac{1}{3}\) số bạn ở nhóm A sang nhóm B; \(\frac{1}{2}\) số bạn ở nhóm B sang nhóm C; số bạn chuyển từ nhóm C sang nhóm A và B đều bằng \(\frac{1}{3}\) số bạn ở nhóm C ban đầu. Tuy nhiên, người ta nhận thấy số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi. Ban tổ chức đã chia mỗi nhóm bao nhiêu bạn?
Lời giải chi tiết
Gọi số bạn ở mỗi nhóm A, B, C mà ban tổ chức đã chia lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))
Có tổng 100 bạn nên \(x + y + z = 100\)
Sau khi trò chơi kết thúc,
số bạn ở nhóm A là: \(x – \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}z\),
số bạn ở nhóm B là: \(y + \frac{1}{3}x – \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z\)
số bạn ở nhóm C là: \(z – 2.\frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y = \frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y\)
Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên
\(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}z = x;\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z = y;\frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y = z\\ \Rightarrow – \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = 0;\frac{1}{2}y = \frac{2}{3}z\end{array}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\ – \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = 0\\\frac{1}{2}y – \frac{2}{3}z = 0\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay, giải hpt ta được \(x = 30,y = 40,z = 30\)
Vậy Ban tổ chức đã chia 30 bạn vào nhóm A, 40 bạn vào nhóm B và 30 bạn vào nhóm C.
BÀI 3 TRANG 21
Đề bài
Một cửa hàng giải khát chỉ phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ và mãng cầu. Để pha mỗi li (cốc) sinh tố này đều cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi và sữa chua với công thức cho ở bang sau.
Ngày hôm qua cửa hàng đã dùng hết 2 l sữa đặc, 12,8 l sữa tươi và 2,9 l sữa chua. Cửa hàng đã bán được bao nhiêu li sinh tố mỗi loại trong ngày hôm qua?
Lời giải chi tiết
Gọi số li sinh tố xoài, bơ mãng cầu mà cửa hàng đã bán trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z (li).
\(\left( {x,y,z \in \mathbb{N}} \right)\)
Đổi 2 l = 2000 ml; 12,8 l = 12800 ml và 2,9 l = 2900 ml.
Ngày hôm qua cửa hàng đã dùng hết 2 l sữa đặc, 12,8 l sữa tươi và 2,9 l sữa chua nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y + 20z = 2000\\100x + 120y + 100z = 12800\\30x + 20y + 20z = 2900\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay, giải hpt ta được \(x = 50,y = 40,z = 30\)
Vậy ngày hôm qua cửa hàng đã bán 50 li sinh tố xoài, 40 li sinh tố bơ và 30 li sinh tố mãng cầu.
BÀI 4 TRANG 21
Đề bài
Ba tế bào A, B, C sau một số lần nguyên phân tạo ra 168 tế bào con. Biết số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra và số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần. Tinh số lần nguyên phân của mỗi tế bào.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi số lần nguyên phân của tế bào loại A, B, C là x, y, z (lần) \((x,y,z \in \mathbb{N})\)
Tổng số tế bào con tạo ra là 168 tế bào nên \({2^x} + {2^y} + {2^z} = 168\)
Số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B hay \({2^x} = {4.2^y}\)
Số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần hay \(z = y + 4\)
\( \Rightarrow {2^z} = {2^{y + 4}} \Leftrightarrow {2^z} = {16.2^y}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn \({2^x},{2^y},{2^z}\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} + {2^z} = 168\\{2^x} – {4.2^y} = 0\\{16.2^y} – {2^z} = 0\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \({2^x} = 32,{2^y} = 8,{2^z} = 128 \Rightarrow x = 5;y = 3;z = 7\)
Vậy tế bào loại A nguyên phân 5 lần, tế bào loại B nguyên phân 3 lần và tế bào loại C nguyên phân 7 lần.
==============
BÀI 5 TRANG 21
Đề bài
Cho sơ đồ mạch điện như Hình 3. Biết \({R_1} = 4\Omega ,{\rm{ }}{R_2} = 4\Omega \) và \({R_3} = 8\Omega \). Tìm các cường độ dòng điện \({I_1},{I_2},{I_3}\).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({I_1} = {I_2} + {I_3}\)
\(\begin{array}{l}{I_2}{R_2} = {I_3}{R_3} \Leftrightarrow 4{I_2} = 8{I_3} \Leftrightarrow {I_2} = 2{I_3}\\{U_1} + {U_2} = 4 \Leftrightarrow {I_1}{R_1} + {I_2}{R_2} = 4 \Leftrightarrow {I_1} + {I_2} = 1\end{array}\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}{I_1} – {I_2} – {I_3} = 0\\{I_2} – 2{I_3} = 0\\{I_1} + {I_2} = 1\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được \({I_1} = \frac{3}{5},{I_2} = \frac{2}{5},{I_3} = \frac{1}{5}\)
Vậy \({I_1} = \frac{3}{5}A,{I_2} = \frac{2}{5}A,{I_3} = \frac{1}{5}A\)
BÀI 6 TRANG 21
Đề bài
Cân bằng phương trình phản ứng khi đốt cháy khí methane trong oxygen:
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử x, y, z là ba số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phương trình phản ứng hóa học:
(nguyên tử carbon ở hai vế bằng nhau)
Số nguyên tử hydrogen ở hai vế bằng nhau, ta có: \(4x = 2z\)
Số nguyên tử oxygen ở hai vế bằng nhau, ta có: \(2y = 2x + z\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x = 2z\\2y = 2x + z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2x\\2y = 2x + 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2x\\2y = 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = y = z\)
Hệ phương trình có vô nghiệm dạng \((n;2n;2n)\), trong đó n là số nguyên dương.
Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn \(n = 1\), ta có \(x = 1,y = 2,z = 2\)
Vậy phương trình cân bằng phản ứng hóa học là CH4 + 2O2 →t° CO2 + 2H2O.
BÀI 7 TRANG 22
Đề bài
Một nhà máy có ba bộ phận cắt, may, đóng gói để sản phẩm ba loại sản phẩm: áo thun, áo sơ mi, áo khoác. Thời gian (tính bằng phút) của mỗi bộ phận để sản xuất 10 cái áo mỗi loại được thể hiện trong bảng sau:
Các bộ phận cắt, may và đóng gói có tối đa 80, 160 và 48 giờ lao động tương ứng mỗi ngày. Hãy lập kế hoạch sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử x, y, z là số áo thun áo sơ mi, áo khoác mà nhà máy sản xuất khi hoạt động hết công suất.
Tổng số giờ cắt là 80 giờ = 4800 phút nên \(9.\frac{x}{{10}} + 12.\frac{y}{{10}} + 15.\frac{z}{{10}} = 4800\)
Tổng số giờ may là 160 giờ = 9600 phút nên \(22.\frac{x}{{10}} + 24.\frac{y}{{10}} + 28.\frac{z}{{10}} = 9600\)
Tổng số giờ cắt là 48 giờ = 2880 phút nên \(6.\frac{x}{{10}} + 8.\frac{y}{{10}} + 8.\frac{z}{{10}} = 2880\)
Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}9.\frac{x}{{10}} + 12.\frac{y}{{10}} + 15.\frac{z}{{10}} = 4800\\22.\frac{x}{{10}} + 24.\frac{y}{{10}} + 28.\frac{z}{{10}} = 9600\\6.\frac{x}{{10}} + 8.\frac{y}{{10}} + 8.\frac{z}{{10}} = 2880\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay, ta suy ra \(x = 800,y = 1400,z = 1600\)
Vậy để hoạt động hết công suất nhà máy cần sản xuất 800 cái áo thun, 1400 áo sơ mi và 1600 áo khoác.
BÀI 8 TRANG 22
Đề bài
Bà Hà có 1 tỉ đồng để đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng. Cổ phiếu sinh lợi nhuận 12%/ năm, trong khi trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng cho lãi suất lần lượt là 8%/năm và 4%/năm. Bà Hà đã quy định rằng số tiền gửi tiết kiệm gửi tiết kiệm ngân hàng phải bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu. Bà Hà nên phân bổ nguồn vốn của mình như thế nào để nhận được 100 triệu đồng tiền lãi từ các khoản đầu tư đó trong năm đầu tiên?
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử x, y, z là số tiền đầu tư cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng. (đơn vị triệu đồng)
Tổng số tiền đầu tư là 1 tỉ = 1000 triệu đồng hay \(x + y + z = 1000\)
Số tiền gửi tiết kiệm gửi tiết kiệm ngân hàng phải bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu nên: \(z = 20\% x + 10\% y\)
Số tiền lãi là 100 triệu đồng hay \(12\% x + 8\% y + 4\% z = 100\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1000\\0,2x + 0,1y – z = 0\\0,12x + 0,08y + 0,04z = 100\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay, ta suy ra \(x = 650,y = 200,z = 150\)
Vậy để hoạt động hết công suất nhà máy cần sản xuất 800 cái áo thun, 1400 áo sơ mi và 1600 áo khoác.
BÀI 9 TRANG 22
Đề bài
Trên thị trường có ba loại sản phẩm A, B, C với ía mỗi tấn sản phẩm tương ứng là x, y, z (đơn vị: triệu đồng, \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\)). Lượng cung và lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho trong bảng sau
Tìm giá của mỗi sản phẩm để thị trường cân bằng.
Lời giải chi tiết
Để tìm giá của mỗi sản phẩm A, B, C, ta xét hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{{S_A}}} = {Q_{{D_A}}}\\{Q_{{S_B}}} = {Q_{{D_B}}}\\{Q_{{S_C}}} = {Q_{{D_C}}}\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}4x – y – z – 5 = – 2x + y + z + 9\\ – x + 4y – z – 5 = x – 2y + z + 3\\ – x – y + 4z – 1 = x + y – 2z – 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}6x – 2y – 2z = 14\\ – 2x + 6y – 2z = 8\\2x + 2y – 6z = 0\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình, ta được: \(x = 4,5;y = 3,75;z = 2,75\)
Vậy để thị trường cân bằng thì sản phẩm A giá 4,5 triệu đồng, sản phẩm B giá 3,75 triệu đồng và sản phẩm C giá 2,75 triệu đồng.
BÀI 10 TRANG 22
Đề bài
Vé vào xem một vở kịch có ba mức giá khác nhau tùy theo khu vực ngồi trong nhà hát. Số lượng vé bán ra và doanh thu của ba suất diễn cho bởi bảng sau:
Tìm giá vé ứng với mỗi khu vực ngồi trong nhà hát.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết
+ Lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử x, y, z là giá vé của mỗi khu vực 1, 2, 3. (đơn vị nghìn đồng)
Doanh thu khu vực 1 là 212,7 triệu đồng = 212 700 nghìn đồng hay \(210x + 152y + 125z = 212700\)
Doanh thu khu vực 2 là 224,4 triệu đồng = 224 400 nghìn đồng hay \(225x + 165y + 118z = 224400\)
Doanh thu khu vực 3 là 252,2 triệu đồng = 252 200 nghìn đồng hay \(254x + 186y + 130z = 252200\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}210x + 152y + 125z = 212700\\225x + 165y + 118z = 224400\\254x + 186y + 130z = 252200\end{array} \right.\)
Dùng máy tính cầm tay, ta suy ra \(x = 400,y = 600,z = 300\)
Vậy giá vé khu vực 1 là 400 nghìn đồng, giá vé khu vực 2 là 600 nghìn đồng và ggias vé khu vực 3 là 300 nghìn đồng.
Trả lời