Giải chuyên đề Bài 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn – Toán 10 Chân trời
HĐ khám phá 1
Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi học sinh lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. MIỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Gọi x, y, = lần lượt là số học sinh của các lớp 10A, 10B,10C.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Trong bảng dữ liệu sau, chọn các số liệu phủ hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C và giải thích sự lựa chọn của bạn.
Lời giải chi tiết:
a) Ba lớp có 128 học sinh nên \(x + y + z = 128\)
Số cây bạch đàn mà 3 lớp trồng được là: \(3x + 2y + 6z = 476\)
Số cây bàng mà 3 lớp trồng được là: \(4x + 5y = 375\)
b) Số liệu phù hợp là số liệu thỏa mãn cả 3 liên hệ liệt kê ở ý a).
\(x = 41,y = 43,z = 44\) sai vì số cây bàng là \(4.41 + 5.43 = 379 \ne 375\)
\(x = 40,y = 43,z = 45\) thỏa mãn cả 3 liên hệ trên.
\(x = 42,y = 43,z = 43\) sai vì số cây bàng là \(4.42 + 5.43 = 383 \ne 375\)
Vậy số liệu phù hợp với số học sinh mỗi lớp là \(x = 40,y = 43,z = 45\)
Thực hành 1
Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1;1;1) và (-1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
(1) \(\left\{ \begin{array}{l}4x – 2y + z = 5\\4xz – 5y + 2z = – 7\\ – x + 3y + 2z = 3\end{array} \right.\)
(2) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z = 5\\2x – y + z = – 1\\3x\; – 2y = – 7\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bộ ba số là nghiệm của hệ nếu nó thỏa mãn cả 3 phương trình của hệ.
Lời giải chi tiết:
Hệ phương trình (1) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ hay chứa \(xz\)
Hệ phương trình (2) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
+) Bộ ba số (1; 5; 2) không là nghiệm của hệ phương trình (2) vì \(1 + 2.5 = 11 \ne 5\) (không là nghiệm của phương trình \(x + 2z = 5\))
+) Bộ ba số (1;1;1) không là nghiệm của hệ phương trình (2) vì \(2.1 – 1 + 1 = 2 \ne – 1\) (không là nghiệm của phương trình \(2x – y + z = – 1\))
+) Bộ ba số (-1; 2; 3) là nghiệm của hệ phương trình (2) vì
\(\left\{ \begin{array}{l} – 1 + 2.3 = 5\\2.( – 1) – 2 + 3 = – 1\\3.( – 1) – 2.2 = – 7\end{array} \right.\) (nghiệm đún cả ba phương trình của hệ).
HĐ Khám phá 2
Cho các hệ phương trình
(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\\\;\,\quad 3y – z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)
(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z = – 1\\\;\;\;\;\;\,2y – z = – 4\end{array} \right.\)
a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.
b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.
Giải hệ phuơng trình:
Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).
Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y – \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x – \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = – 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y – z = – 4\;\;(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = – 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).
Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} = – 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ – 5}}{4}\)
Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ – 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x – \frac{{ – 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 7}}{8}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ – 7}}{8};\frac{{ – 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)
Thực hành 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\\x + 2y – z = – 2\\x – 3y + z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\\x + 2y – z = 1\\2x – 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\\x – 4y + 2z = – 1\\4x – y + 3z = 1\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y – z = – 2\quad (2)\\x – 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y – z = – 2\quad (2)\\\quad y – z = – 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y – z = – 3\quad (2.1)\\\quad y – z = – 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y – z = – 3\quad (2.1)\\\quad \;3y = – 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ – 1}}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ – 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)
Thay \(y = \frac{{ – 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ – 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y – z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x – 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x – y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x – 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\x – 4y + 2z = – 1\;(2)\\4x – y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\\4x – y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y – z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y – 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x = – 2y + 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( – 2y + 1;y;3y – 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Vận dụng 1
Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết (P) đi qua ba điểm \(A(0; – 1),B(1; – 2),C(2; – 1).\)
Lời giải chi tiết:
Thay tọa độ 3 điểm \(A(0; – 1),B(1; – 2),C(2; – 1)\) vào phương trình của parabol ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\quad \quad c = – 1\quad \quad (1)\\a + b + c = – 2\quad \;(2)\\4a + 2b + c = – 1\quad (3)\end{array} \right.\)
Thay \(c = – 1\) vào phương trình (2) và (3) ta được hệ PT:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b – 1 = – 2\quad \;(2)\\4a + 2b – 1 = – 1\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = – 1\quad \;(2)\\4a + 2b = 0\quad (3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = – 1\quad \;(2)\\\quad 2a = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (3.1) ta có \(a = 1\)
Thay \(a = 1\) vào PT (2) ta được \(b = – 2\)
Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} – 2x – 1\)
Thực hành 3
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – z = – 1\\x + 3y + 2z = 2\\3x + 3y – 3z = – 5\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y + 2z = 5\\x + 2y – 3z = 4\\3x – y – z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y – z = – 1\\2x – y + z = – 1\\ – 4x + 3y + z = 3\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + cz = d\\a’x + b’y + c’z = d’\\a”x + b”y + c”z = d”\end{array} \right.\)
+) Mở máy, ấn liên tiếp các phím:
MODE 5 2 a = b = c = d = a’ = b’ = c’ = d’ = a’’ = b’’ = c’’ = d’’=
+) Màn hình hiển thị:
X = >> Ấn tiếp phím = để lấy gía trị của Y và Z. >> Kết luận nghiệm.
No-Solution >> KL: hệ vô nghiệm
Infinite Sol >> KL: hệ có vô số nghiệm
Lời giải chi tiết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – z = – 1\\x + 3y + 2z = 2\\3x + 3y – 3z = – 5\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{2}{3};\frac{{ – 2}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y + 2z = 5\\x + 2y – 3z = 4\\3x – y – z = 2\end{array} \right.\)
Hệ phương trình vô nghiệm
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y – z = – 1\\2x – y + z = – 1\\ – 4x + 3y + z = 3\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm
Vận dụng 2
Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, mỗi li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90 000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngoạt và trả 50 000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140 000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngoạt căng tin đó.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.
b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó
Lời giải chi tiết:
a)
Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90 000 đồng, nên
\(x + y + 2z = 90000\)
Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngoạt và trả 50 000 đồng, nên:
\(x + 3z = 50000\)
Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140 000 đồng, nên
\(x + 2y + 3z = 140000\)
b) Từ các hệ thức liên hệ giữa x, y và z ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2z = 90000\\x + 3z = 50000\\x + 2y + 3z = 140000\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta được:
Nghiệm của hệ phương trình trên là: \((x;y;z) = (35000;45000;5000)\)
Vậy một li trà sữa giá 35 000 đồng, một li nước trái cây giá 45 000 đồng và một cái bánh ngọt giá 5 000 đồng.
BÀI 1 TRANG 12
Đề bài
Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phường trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (-1;2;1), (-1,5; 0,25; -1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?
a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 2y + z = – 6\\ – 2x + y + 3z = 7\\4x – y + 7z = 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 2y + 3z = 4\\3x + 2yz – z = 2\\x – 3y + 2z = – 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – 4y – 3z = \frac{{ – 1}}{4}\\3x + 8y – 4z = \frac{5}{2}\\2x + 3y – 2z = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bộ ba số là nghiệm của hệ nếu nó thỏa mãn cả 3 phương trình của hệ.
Lời giải chi tiết
a) Hệ phương trình ở câu a) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
+) Thay x = -1; y = 2; z = 1 vào các hệ phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}3.( – 1) – 2.2 + 1 = – 6\\ – 2.( – 1) + 2 + 3.1 = 7\\4.( – 1) – 2 + 7.1\end{array} \right.\)
=> Bộ ba số (-1; 2; 1) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.
Do đó (-1; 2; 1) là một nghiệm của hệ.
+) Thay x = -1,5; y = 0,25; z = -1,25 vào các hệ phương trình ta được:
\( – 2.( – 1,5) + 0,25 + 3.( – 1,25) = \frac{1}{2} \ne 7\)
=> Bộ ba số (-1,5; 0,25; -1,25) không là nghiệm của phương trình thứ hai của hệ.
Do đó (-1,5; 0,25; -1,25) không là nghiệm của hệ.
b) Hệ phương trình ở câu b) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ hai chứa \(yz\)
c) Hệ phương trình ở câu c) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
+) Thay x = -1; y = 2; z = 1 vào các hệ phương trình ta được:
\(2.( – 1) – 4.2 – 3.1 = – 13 \ne \frac{{ – 1}}{4}\)
=> Bộ ba số (-1; 2; 1) không là nghiệm của phương trình thứ hai của hệ.
Do đó (-1; 2; 1) không là nghiệm của hệ.
+) Thay x = -1,5; y = 0,25; z = -1,25 vào các hệ phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}2.( – 1,5) – 4.0,25 – 3.( – 1,25) = \frac{{ – 1}}{4}\\3.( – 1,5) + 8.0,25 – 4.( – 1,25) = \frac{5}{2}\\2.( – 1,5) + 3.0,25 – 2.( – 1,25) = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
=> Bộ ba số (-1,5; 0,25; -1,25) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.
Do đó (-1,5; 0,25; -1,25) là một nghiệm của hệ.
BÀI 2 TRANG 13
Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x – 3y = 2\\2x + y – z = 3\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x – y + z = 4\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + 5z = – 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y – z = 4\end{array} \right.\)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x – 3y = 2\quad (2)\\2x + y – z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (2) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y – z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2.1) ta có \(x = 2\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(y = 0\)
Thay \(x = 2\) và \(y = 0\) vào phương trình (3) ta được \(z = 1\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;0;1} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8\;\;\quad (2)\\3x – y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\3x – y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\ – 4y – 2z = – 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\2y + z = 1\quad \;\;\,(3.2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + 5z = – 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\x + 2y – z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + 5z = – 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)
Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}x – y + 5z = – 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có \(y = x + 5z + 2\), thay vào phương trình (2) ta được \(2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x = – 3z\)
Do đó \(y = 2z + 2\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( – 3z;2z + 2;z)\) với \(z \in \mathbb{R}\).
BÀI 3 TRANG 13
Đề bài
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 5z = 2\\3x + y – 4z = 3\\ – x + 2y + z = – 1\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 3\\x + 2y – z = 1\\3x + y – 2z = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – z = 1\\2x + y – 2z = 2\\4x – 7y – 4z = 4\end{array} \right.\)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + cz = d\\a’x + b’y + c’z = d’\\a”x + b”y + c”z = d”\end{array} \right.\)
+) Mở máy, ấn liên tiếp các phím:
MODE 5 2 a = b = c = d = a’ = b’ = c’ = d’ = a’’ = b’’ = c’’ = d’’=
+) Màn hình hiển thị:
X = >> Ấn tiếp phím = để lấy gía trị của Y và Z. >> Kết luận nghiệm.
No-Solution >> KL: hệ vô nghiệm
Infinite Sol >> KL: hệ có vô số nghiệm
Lời giải chi tiết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x – 5z = 2\\3x + y – 4z = 3\\ – x + 2y + z = – 1\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{{17}}{{26}};\frac{{ – 1}}{{26}};\frac{{ – 7}}{{26}}} \right)\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + z = 3\\x + 2y – z = 1\\3x + y – 2z = 2\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{6}{5};\frac{2}{5};1} \right)\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – z = 1\\2x + y – 2z = 2\\4x – 7y – 4z = 4\end{array} \right.\)
Hệ có vô số nghiệm
BÀI 4 TRANG 13
Đề bài
Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết:
a) (P) có trục đối xứng \(x = 1\) và đi qua hai điểm \(A(1; – 4),B(2; – 3).\)
b) (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\) và đi qua điểm \(M( – 1;3)\)
Lời giải chi tiết
Trục đối xứng \(x = – \frac{b}{{2a}}\)
Đỉnh \(I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) với \(\Delta = {b^2} – 4ac\)
Lời giải chi tiết
a) (P) có trục đối xứng \(x = 1 \Rightarrow – \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\quad (1)\)
Thay tọa độ 2 điểm \(A(1; – 4),B(2; – 3)\) vào phương trình của parabol, kết hợp (1) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\quad (1)\\a + b + c = – 4\quad \;(2)\\4a + 2b + c = – 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra \(a = 1,b = – 2,c = – 3\)
Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} – 2x – 3\)
b) (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right) \Rightarrow – \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\quad (1)\;; – \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4a}} = \frac{3}{4}\quad (2)\)
\((1) \Leftrightarrow a + b = 0\) Thay \(b = – a\) vào (2) ta được: \((2) \Leftrightarrow {a^2} – 4ac = – 3a \Leftrightarrow a – 4c = – 3\) (do \(a \ne 0\))
Thay tọa độ điểm \(M( – 1;3)\) vào phương trình của parabol, ta được: \(a – b + c = 3\)
Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\quad (1)\\a – 4c = – 3\quad \;(2)\\a – b + c = 3\quad (3)\end{array} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra \(a = 1,b = – 1,c = 1\)
Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} – x + 1\)
BÀI 5 TRANG 13
Đề bài
Một đại lí bán ba loại gas A, B, C với giá bán mỗi bình gas lần lượt là 520 000 đồng, 480 000 đồng, 420 000 đồng. Sau một tháng, đại lí đã bán được 1 299 bình gas các loại với tổng doanh thu đạt 633 960 000 đồng. Biết rằng trong tháng đó, đại lí bán được số bình gas loại B bằng một nửa tổng số bình gas loại A và C. Tính số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được trong tháng đó.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Gọi số bình gas loại A, B, C đã bán trong tháng là x, y, z (bình)
Bước 2: Lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn => giải bằng máy tính cầm tay.
Bước 3: Kết luận số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được.
Lời giải chi tiết
Gọi số bình gas loại A, B, C đã bán trong tháng là x, y, z (bình) \((x,y,z \in \mathbb{N})\)
Sau một tháng, đại lí đã bán được 1 299 bình gas nên ta có: \(x + y + z = 1299\)
Tổng doanh thu đạt 633 960 000 đồng nên: \(520.x + 480.y + 420.z = 633960\)
Số bình gas loại B bằng một nửa tổng số bình gas loại A và C hay \(y = \frac{1}{2}(x + z) \Leftrightarrow x – 2y + z = 0\)
Từ đó ta có hệ pt bậc nhất ba ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1299\\520.x + 480.y + 420.z = 633960\\x – 2y + z = 0\end{array} \right.\)
Hệ phương trình trên có nghiệm \((x;y;z) = (624;433;242)\)
Vậy tháng đó đại lí bán được 624 bình gas loại A, 433 bình gas loại B và 242 bình gas loại C.
Trả lời