Giải bài tập Bài 3: Nhị thức Newton (Chân trời)
===========
Giải bài 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {3x + y} \right)^4}\)
b) \({\left( {x – \sqrt 2 } \right)^5}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhị thức Newton
\(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a) \({\left( {3x + y} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4.{\left( {3x} \right)^3}y + 6.{\left( {3x} \right)^2}{y^2} + 4.\left( {3x} \right){y^3} + {y^4}\)
\( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {x – \sqrt 2 } \right)^5} = \left( {x + (-\sqrt 2) } \right)^5 ={x^5} + 5.{x^4}.\left( { – \sqrt 2 } \right) + 10.{x^3}.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^3} + 5.x.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^4} + 1.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^5}\\ = {x^5} – 5\sqrt 2 .{x^4} + 20{x^3} – 20\sqrt 2 .{x^2} + 20x – 4\sqrt 2 \end{array}\)
Giải bài 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)
b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^4}\)
c) \({\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^5}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhị thức Newton
\(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\\ = \left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right] + \left[ {{{4.2}^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + 4.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \right]\\ = 68 + 48\sqrt 2 \end{array}\)
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\)
\({\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^4} = \left( {2 +(- \sqrt 2 )} \right)^4= {2^4} + {4.2^3}.\left( { – \sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( { – \sqrt 2 } \right)^3} + {\left( { – \sqrt 2 } \right)^4}\)
Từ đó,
\(\begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^4} = 2\left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right]\\ = 2\left( {16 + 48 + 4} \right) = 136\end{array}\)
c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^5} = \left( {1 +(- \sqrt 3 )} \right)^5= 1 + 5.\left( { – \sqrt 3 } \right) + 10.{\left( { – \sqrt 3 } \right)^2} + 10.{\left( { – \sqrt 3 } \right)^3} + 5.{\left( { – \sqrt 3 } \right)^4} + 1.{\left( { – \sqrt 3 } \right)^5}\\ = \left[ {1 + 10.{{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^2} + 5.{{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^4}} \right] + \left[ {5.\left( { – \sqrt 3 } \right) + 10.{{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^3} + 1.{{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^5}} \right]\\ = 76 – 44\sqrt 3 \end{array}\)
Giải bài 3 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3x – 2} \right)^5}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(ax + b)^5} = {a^5}{x^5} + 5{a^4}{x^4}.b + 10{a^3}{x^3}.{b^2} + 10{a^2}{x^2}.{b^3} + 5ax.{b^4} + {b^5}\)
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển là \(10{a^3}{b^2}\).
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có
Hệ số \({x^3}\) là hệ số của số hạng \(C_5^3{\left( {3x} \right)^3}{\left( { – 2} \right)^2} = 1080{x^3}\)
Vậy hệ số của \({x^3}\) là 1080
Giải bài 4 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Cho \(A = \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}} \right\}\) là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ \(\left( {1,3,5} \right)\) phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn \(\left( {0,2,4} \right)\) phần tử của A
Phương pháp giải
Bước 1: Tính các tổ hợp con
Bước 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton
Lời giải chi tiết
Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.
=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: \(C_5^1 + C_5^3 + C_5^5=5+10+1=16\)
Số tổ con có chẵn phần tử là: \(C_5^0 + C_5^2 + C_5^4=1+10+5=16\)
\( \Rightarrow C_5^0 + C_5^2 + C_5^4 = C_5^1 + C_5^3 + C_5^5\) (đpcm)
Giải bài 5 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Chứng minh rằng \(C_5^0 – C_5^1 + C_5^2 – C_5^3 + C_5^4 – C_5^5 = 0\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhị thức Newton
Hoặc \(C_n^k = C_n^{n – k}\)
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}C_5^0 – C_5^1 + C_5^2 – C_5^3 + C_5^4 – C_5^5\\ = C_5^0{.1^5} – C_5^1{.1^4}.1 + C_5^2{.1^3}{.1^2} – C_5^3{.1^2}{.1^3} + C_5^4{.1.1^4} – C_5^5{.1^5}\\ = {\left( {1 – 1} \right)^5} = {0^5}\\ = 0\end{array}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Cách 2:
Ta có: \(C_5^0 = C_5^{5 – 0} = C_5^5\)
Tương tự: \(C_5^1 = C_5^{5 – 1} = C_5^4;\;C_5^2 = C_5^{5 – 2} = C_5^3;\)
\(\Rightarrow C_5^0 – C_5^1 + C_5^2 – C_5^3 + C_5^4 – C_5^5 = \left( {C_5^0 – C_5^5} \right) + \left( {C_5^4 – C_5^1} \right) + \left( {C_5^2 – C_5^3} \right) = 0\) (đpcm)