Giải Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học – Chuyên đề Toán 10 (Kết nối)
============
Giải mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1
Hãy quan sát các đẳng thức sau:
\(1 = {1^2}\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)
……
Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên
\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1).\)
Lời giải chi tiết:
Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.
=> Tổng \(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:
\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = {n^2}.\)
HĐ2
Xét đa thức \(p(n) = {n^2} – n + 41.\)
a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.
Lời giải chi tiết:
a) \(p(1) = {1^2} – 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố
\(p(2) = {2^2} – 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố
\(p(3) = {3^2} – 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố
\(p(4) = {4^2} – 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố
\(p(5) = {5^2} – 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố
b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)
Luyện tập 1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có
\(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\(1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Luyện tập 2
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức
\({a^n} – {b^n} = (a – b)({a^{n – 1}} + {a^{n – 2}}b + … + a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b)\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({a^k} – {b^k} = (a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} – {a^k}b + {a^k}b – {b^{k + 1}} = {a^k}(a – b) + b({a^k} – {b^k})\\ = {a^k}(a – b) + b(a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})\\ = (a – b)[{a^k} + b({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})]\\ = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + {a^{k – 2}}{b^2} + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Giải mục 2 trang 28, 29, 30 Chuyên đề học tập Toán 10
Đề bài
Vận dụng (Công thức lãi kép)
Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.
a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) \({T_1},{T_2},{T_3}\) mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.
b) Dự đoán công thức tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) \({T_n}\) mà người đó thu được sau n kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.
Lời giải chi tiết
a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)
Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)
Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)
b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)
Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)
Vậy (*) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Giải bài 2.1 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
a) \(2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)\)
b) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(2.1 = 1.(1 + 1)\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) tức là ta có \(2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)
Thật vậy, ta có
\(\left( {2 + 4 + 6 + … + 2k} \right) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)
Vậy a) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({1^2} = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)
Giải bài 2.2 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là đúng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.
a) \(p(n) = {n^2} – n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n
b) \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Lời giải chi tiết
a) Khẳng định \(p(n) = {n^2} – n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n là một khẳng định sai. Thật vậy, với \(n = 11\) ta có \(p(11) = {11^2}\) là hợp số (vì nó chia hết cho 11).
b)
Cách 1:
Xét \(T = {n^2} – n\), ta chứng minh \(T > 0\forall n \ge 2\)
Vì \(n \ge 2\) nên \(n – 1 \ge 1\). Do đó \(T = n(n – 1) \ge 2 > 0\)
Vậy \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Cách 2:
Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 2\) ta có \({2^2} > 2\)
Vậy b) đúng với \(n = 2\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} > k\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^2} > k + 1\)
Thật vậy, ta có
\({(k + 1)^2} = {k^2} + 2k + 1 > {k^2} + 1 > k + 1\) (do \(k \ge 2\) và \({k^2} > k\) (theo giả thiết quy nạp))
Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2.\)
Giải bài 2.3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Chứng minh rằng \({n^3} – n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (3) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({0^3} – 0 + 3 = 3\) chia hết cho 3.
Vậy (3) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (3) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^3} – k + 3\) chia hết cho 3
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^3} – (k + 1) + 3\) chia hết cho 3
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} – (k + 1) + 3 = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 – k – 1 + 3\\ = {k^3} + 3{k^2} + 2k + 3 = ({k^3} – k + 3) + 3{k^2} + 3k\\ = ({k^3} – k + 3) + 3({k^2} + k)\end{array}\)
Chia hết cho 3 do \({k^3} – k + 3 \vdots 3\)
Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Giải bài 2.4 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Chứng minh rằng \({n^2} – n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Với \(n = 1\) ta có \({1^2} – 1 + 41 = 41\) là số lẻ
Với \(n \ge 2\) ta có \({n^2} – n + 41 = n(n – 1) + 41\) không chia hết cho 2 (do \(n(n – 1)\)tích hai số tự nhiên liên tiếp, luôn chia hết cho 2. Còn 41 không chia hết cho 2)
Nói cách khác với \(n \ge 2\) thì \({n^2} – n + 41\) là số lẻ.
Vậy \({n^2} – n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.
Cách 2:
Ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({1^2} – 1 + 41 = 41\) là số lẻ.
Vậy (4) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (4) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} – k + 41\) là số lẻ.
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^2} – (k + 1) + 41\) là số lẻ.
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{(k + 1)^2} – (k + 1) + 41 = {k^2} + 2k + 1 – k – 1 + 41\\ = {k^2} + k + 41 = \left( {{k^2} – k + 41} \right) + 2k\end{array}\)
Là số lẻ vì \({k^2} – k + 41\) lẻ và \(2k\) chẵn.
Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n.
Giải bài 2.5 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Chứng minh rằng nếu \(x > – 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi số tự nhiên n.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 0\) ta có \({(1 + x)^0} \ge 1 + 0.x\)
Vậy (5) đúng với \(n = 0\)
Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({(1 + x)^k} \ge 1 + kx\)
Ta chứng minh (5) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x\)
Thật vậy, ta có
\({(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x\)
Do \(1 + x > 0,k{x^2} \ge 0\)
Vậy (5) đúng với mọi số tự nhiên n.
Giải bài 2.6 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}\).
a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}.\)
b) Dự đoán công thức tính tổng \({S_n}\) và chứng minh bằng quy nạp.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\end{array}\)
b) Dự đoán \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) (6)
Ta chứng minh (6) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{2}\)
Vậy (6) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{k + 1}}\)
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{k(k + 1)}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k(k + 2) + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\end{array}\)
Vậy (6) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Giải bài 2.7 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n – 3)}}{2}.\)
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n – 3)}}{2}\) (*) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 4\) ta có số đường chéo của một tứ giác là \(\frac{{4(4 – 3)}}{2} = 2\)
Vậy (*) đúng với \(n = 4\)
Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có số đường chéo của một đa giác k cạnh là \(\frac{{k(k – 3)}}{2}\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh số đường chéo của một đa giác k+1 cạnh là \(\frac{{(k + 1)(k – 2)}}{2}\)
Thật vậy, xét đa giác \({A_1}{A_2}…{A_{k + 1}}\) ta có:
So với đa giác \({A_1}{A_2}…{A_k}\), thì đa giác \({A_1}{A_2}…{A_{k + 1}}\) có thêm các đường chéo là \({A_1}{A_k}\)và \({A_2}{A_{k + 1}},{A_3}{A_{k + 1}},…,{A_{k – 1}}{A_{k + 1}}\) (nhiều hơn k-1 đường chéo)
Do đó số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là:
\(\frac{{k(k – 3)}}{2} + k – 1 = \frac{{{k^2} – 3k + 2k – 2}}{2} = \frac{{{k^2} – k – 2}}{2} = \frac{{(k + 1)(k – 2)}}{2}.\)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 4\).
Giải bài 2.8 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Đề bài
Ta sẽ “lập luận” bằng quy nạp toán học để chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đểu có cùngmàu”. Ta gọi P(n) với n nguyên dương là mệnh để sau: “Mọi con mèo trong một đàn gồmn con đều có cùng màu”.
Bưóc 1. Với n = 1 thì mệnh để P(1) là “Mọi con mẻo trong một đàn gồm 1 con đểu có cùng màu”. Hiển nhiên mệnh để này là đúng!
Bước 2. Giả sử P(k) đúng với một số nguyên dương k nào đó. Xét một đàn mèo gồm k + 1 con. Gọi chúng là \({M_1},{M_2},…,{M_{k + 1}}\). Bỏ con mèo \({M_{k + 1}}\) ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm k con là \({M_1},{M_2},…,{M_k}\). Theo giả thiết quy nạp, các con mèo có cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo \({M_{k + 1}}\) ta bỏ con mèo \({M_1}\) để có đàn mèo gồm k con là \({M_2},{M_3},…,{M_{k + 1}}\). Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo \({M_2},{M_3},…,{M_{k + 1}}\) có cùng màu. Cuối cùng, đưa con mèo \({M_1}\) trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu. Theo các lập luận trên: các con mèo \({M_1},{M_2},…,{M_k}\) có cùng màu và các con mèo \({M_2},{M_3},…,{M_{k + 1}}\) có cùng màu. Từ đó suy ra tất cả các con mèo \({M_1},{M_2},…,{M_{k + 1}}\) đều có cùng màu.
Vậy, theo nguyên lí quy nạp thì P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Nói riêng, nếu gọi N là số mèo hiện tại trên Trái Đất thì việc P(N) đúng cho thấy tất cả các con mèo (trênTrái Đất) đều có cùng màu!
Tất nhiên là ta có thể tỉm được các con mèo khác màu nhau! Theo em thì “lập luận” trên đây sai ở chỗ nào?
Lời giải chi tiết
Lập luận trên sai ở Bước 2.
Cụ thể k = 1, xét đàn mèo gồm k + 1 tức là 2 con. Gọi chúng là \({M_1},{M_2}\). Ở bước 2 ta chỉ ra 2 con mèo này luôn cùng màu dựa trên giả thiết P(1) đúng.
Bỏ con mèo \({M_2}\) ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm 1 con là \({M_1}\). Theo giả thiết quy nạp, 1 con mèo này có cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo \({M_2}\) ta bỏ con mèo \({M_1}\) để có đàn mèo gồm 1 con là \({M_2}\). Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo \({M_2}\) có cùng màu. Cuối cùng, đưa con mèo \({M_1}\) trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu.
Nhưng theo các lập luận trên ta không suy ra được các con mèo \({M_1},{M_2}\) có cùng màu (vì không có con mèo cùng màu chung mà mỗi con chỉ cùng màu với chính nó).
Bước 2 sai do \(\{ {M_1},{M_2},…,{M_k}\} \cap \left\{ {{M_2},{M_3},…,{M_{k + 1}}} \right\}\) có thể bằng rỗng (khi k =2) nên không thể suy ra tất cả các con mèo \({M_1},{M_2},…,{M_{k + 1}}\) đều có cùng màu.
Trả lời