A.Tổng quan kiến thức
Ta gọi $\frac{a+b}{2}$ là trung bình cộng của hai số a, b.
Tổng quát trung bình cộng của n số a1, a2,…, an là :
$\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n}$
Trung binh nhân của hai số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 là $\sqrt{ab}$
Trung bình nhân của n số không âm a1 ≥ 0, a2 ≥ 0,…, an ≥ 0 là :
$\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}$
Định lí: Ta có bất đẳng Cô si:
$\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$ ∀a, b ≥ 0.
Dấu “=” chỉ xảy ra khi a = b.
Ngoài ra :
$\sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}$ ∀a, b, c ≥ 0.
$\sqrt[a]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}\leq \frac{a_{a}+a_{2}+…+a_{n}}{3}$ ∀ a1, a2,…, an ≥ 0.
Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$.
Tìm GTNN của biểu thức :$A=\sqrt{x}+\sqrt{y}$.
Do x > 0 , y > 0 => $\frac{1}{x}> 0,\frac{1}{y}> 0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{1}{x},\frac{1}{y}$ ta có :
$\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$
<=> $\frac{1}{4}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}=> \sqrt{xy}\geq 4$
Mặt khác ta có : x > 0 , y > 0 => $\sqrt{x}\geq 0,\sqrt{y}\geq 0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si , ta có :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{xy}}\geq 2\sqrt{4=4}$
Vậy Min A = 4 <=> $\left\{\begin{matrix}x=y & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$
<=> $x=y=4$.
============
Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức : $A=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x_{2}+x+1}$.
Ta có : $x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4} \forall x\in R$
$x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4} \forall x\in R$
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số $\sqrt{x^{2}-x+1},\sqrt{x_{2}+x+1}$ ta có :
$\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x_{2}+x+1}\geq 2\sqrt{\sqrt{x^{2}-x+1}.\sqrt{x_{2}+x+1}}=2\sqrt[4]{x^{4}+x^{2}+1}\geq 2$
Vậy Min A = 2 <=> $\left\{\begin{matrix}x^{4}+x^{2}+1=1 & \\\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{x^{2}+x+1} & \end{matrix}\right.$
<=> x = 0.
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức : $A=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ với x , y , z > 0.
Vì x , y , z > 0 => $\frac{x}{y}>0,\frac{y}{z}>0 ,\frac{z}{x}>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương $\frac{x}{y},\frac{y}{z} ,\frac{z}{x}$ ta có :
$A=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$
Vậy Min A = 3 <=> $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}<=> x=y=z$.
Bài 4: Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn : x + y + z = 2 .
Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}$
Ta có : $\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x$
$\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{y^{2}}{x+z}.\frac{x+z}{4}}=2.\frac{y}{2}=y$
$\frac{z^{2}}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{z^{2}}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=2.\frac{z}{2}=z$
=> $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}+\frac{x+y}{4}\geq x+y+z$
<=> $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}+\frac{x+y+z}{2}\geq x+y+z$
=> $P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{y+x}\geq x+y+z-\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1$
Vậy Min P = 1 <=> $\frac{x^{2}}{y+z}=\frac{y+z}{4},\frac{y^{2}}{x+z}=\frac{x+z}{4}, \frac{z^{2}}{y+x}=\frac{y+x}{4}$
<=> $x=y=z=\frac{2}{3}$
Bài 5: Cho x , y ,z > 0 và x + y + z = 1
Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$.
Vì x + y + z = 1 => $S=( x + y + z )\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$.
<=> $S=1+4+9+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z})+(\frac{9x}{z}+\frac{z}{x})$
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{y}{x},\frac{4x}{y}$ ta có :
$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}=4$ (1)
Tương tự với 2 số dương $\frac{4z}{y},\frac{9y}{z}$ ta có:
$\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z}\geq 2\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=12$ (2)
Tương tự với 2 số dương $\frac{9x}{z},\frac{z}{x}$ ta có :
$\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2\sqrt{\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}}=6$ (3)
Từ (1) , (2) và (3) => $S\geq 1+4+9+4+12+6=36$
Dấu ” = ” xảy ra <=> $\frac{y}{x}=\frac{4x}{y},\frac{4z}{y}=\frac{9y}{z},\frac{9x}{z}=\frac{z}{x},x+ y +z=1$
<=> $y=2x,z=3x,x+y+z=1$
<=> $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$
Vậy Min S = 36 <=> $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$.
Để lại một bình luận