A . Tổng quan kiến thức
I . Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp :
Cho đẳng thức $T=f(x,y)$ .Ta biến đổi về phương trình bậc hai.
Với điều kiện phương trình trên có nghiệm <=> $\Delta \geq 0$ => ( đpcm ).
II . Bài toán tìm Max , Min của hàm số
Phương pháp :
Từ hàm số $y=f(x)$ , ta đưa về phương trình bậc hai .
Dùng điều kiện của phương trình bậc hai để tìm giá trị Max , Min của hàm số đã cho.
B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau :
a) $y=\frac{6x-1}{x^{2}+8}$ .
b) $y=\frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+2x+1}$ .
TXĐ : D = R
a. $y=\frac{6x-1}{x^{2}+8}$ <=> $yx^{2}-6x+8y+1=0$ (1)
Để (1) có nghiệm <=> Hoặc là y = 0 (*) hoặc $\left\{\begin{matrix}y\neq 0 & \\ \Delta {}’\geq 0& \end{matrix}\right.$ (**)
(**) <=> $\left\{\begin{matrix}y\neq 0 & \\ 9-y(8y+1)& \end{matrix}\right.$
(**) <=> $\left\{\begin{matrix}y\neq 0 & \\ \frac{-9}{8}\leq y\leq 1& \end{matrix}\right.$
(**) => max = 1 và min = $\frac{-9}{8}$.
Vậy hàm số đạt giá trị max = 1 và min = $\frac{-9}{8}$.
b. $y=\frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+2x+1}$
<=> $(3y-1)^{2}+2(y+1)x+y-3=0$ (1)
Để (1) có nghiệm <=> Hoặc là 3y – 1 =0 (*) hoặc $\left\{\begin{matrix}3y-1\neq 0 & \\ \Delta {}’\geq 0& \end{matrix}\right.$ (**)
Ta có : (*) <=> $y=\frac{1}{3}$
(**) <=> $\left\{\begin{matrix}y\neq \frac{1}{3} & \\ 3-2\sqrt{2}\leq y\leq 3+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$
(**) => max = $3+2\sqrt{2}$ , min = $3-2\sqrt{2}$ .
Vậy hàm số đạt giá trị max = $3+2\sqrt{2}$ , min = $3-2\sqrt{2}$ .
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$ . ($x\in R$)
Vì : $x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0 , \forall x\in R$
=> $y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$
<=> $y{x^{2}+x+1}=x^{2}-x+1$
<=> $(y-1)x^{2}+(y+1)x+y-1=0$ (1)
Nếu y = 1 => x = 0.
Nếu $y\neq 1$ => Để (1) có nghiệm <=> $\Delta {}’\geq 0$
<=> $-3y^{2}+10y-3\geq 0<=> \frac{1}{3}\leq y\leq 3$
Vậy biểu thức đạt giá trị Max(y) = 3 , Min(y) = $\frac{1}{3}$ .
Bài 3: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ .Tìm điều kiện của a để miền giá trị của hàm số $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .
Đk : $x^{2}\neq -a$
Gọi T là miền giá trị của hàm số => Tồn tại ít nhất 1 số $y_{0}\in T$ sao cho : $y_{0}=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ có nghiệm .
<=> $y_{0}x^{2}+ay_{0}=x+1$
<=> $y_{0}x^{2}-x+ay_{0}-1=0$ (1)
Nếu $y_{0}=0$ ,(1) => x = -1 .Với Đk : $x^{2}\neq -a$ <=> $a\neq -1$
Nếu $y_{0}\neq 0$ , (1) có nghiệm <=> $\Delta {}’\geq 0$
<=> $1-4y_{0}(ay_{0}-1)\geq 0$
<=> $4ay_{0}^{2}-4y_{0}-1\leq 0$ (2)
+ Với a = 0 , (2) => $y_{0}\geq \frac{-1}{4}$ chứa $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .
=> a = 0 ( thỏa mãn ) .
+ Với a > 0 , (2) <=> $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} (\Delta {}’=4(1+a))$
Để miền giá trị chứa $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ thì :
$\left\{\begin{matrix}\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq 0 & \\ \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} \geq 1& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+a}\geq 1 (luôn đúng ) & \\ \sqrt{1+a}\geq 2a-1 (*) & \end{matrix}\right.$
(*) <=> Hoặc $2a-1\leq 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a+1\geq (2a-1)^{2} & \\ 2a-1\geq 0 & \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\ 4a^{2}-5a\leq 0& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\ 0<a\leq \frac{5}{4}& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $\frac{1}{2}\leq a\leq \frac{5}{4}$
<=> $a\leq \frac{5}{4}$ . (3)
Với a < 0 , $a\leq -1$ => $\Delta {}’=2(1+a)\leq 0$ => (2) luôn đúng .
=> $a\leq -1$ ( thỏa mãn ) .
Với a < 0 , $-1<a<0$ ,Để miền giá trị này chứa (0 , 1) thì :
$\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a} \leq 0$
<=> $\sqrt{1+a}\leq 1$
<=> a < 0 . (4)
Từ (3) ,(4) => Giá trị của a thỏa mãn bài ra là : $\left\{\begin{matrix}a\leq \frac{5}{4} & \\ a\neq -1 & \end{matrix}\right.$
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số sau :
$y=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{x-1}+1}$ (1)
Đk : $-3\leq x\leq 1$
Khi đó ta có : $(\sqrt{x+3})^{2}+(\sqrt{1-x})^{2}=4$
<=> Ta đặt : $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2\frac{2t}{1+t^{2}} & \\ \sqrt{1-x}=2\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}& \end{matrix}\right.$ ($0\leq t\leq 1$)
(1) <=> $y=\frac{-7t^{2}+12t+9}{-5t^{2}+16t+7}$
<=> $y{-5t^{2}+16t+7}=-7t^{2}+12t+9$
<=> $(5y-7)t^{2}+(12-16y)t+9-7y=0$ (2)
Nếu 5y – 7 = 0 <=> $y=\frac{7}{5}$ , (2) => $t=\frac{-1}{13}\notin \begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .
Nếu $5y – 7 \neq 0$ <=> $y\neq \frac{7}{5}$
Đặt $f(t)=(5y-7)t^{2}+(12-16y)y+9-7y$
+ Nếu $f(t)=0$ có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$ thỏa mãn : Hoặc là $0\leq t_{1}< 1\leq t_{2}$ hoặc $ t_{1}< 0\leq t_{2}< 1$
<=> $f(0).f(1)\leq 0$ <=> $\frac{7}{9}\leq y\leq \frac{9}{7}$ .
+ Nếu $f(t)=0$ có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$ thỏa mãn : $0< t_{1}\leq t_{2}< 1$
Vậy Max(y) = $\frac{9}{7}$ và Min(y) = $\frac{7}{9}$ .
Bài 5: Cho các số x , y thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+xy=1$
Tính giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của : $A=2x^{2}-xy+3y^{2}$ .
Ta có : $A=2x^{2}-xy+3y^{2}=\frac{2x^{2}-xy+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}+xy}$
+ Nếu y = 0 => $A =\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2$ .
+ Nếu $y\neq 0=>A\neq 2 <=> A=\frac{2(\frac{x}{2})^{2}-\frac{x}{y}+3}{(\frac{x}{2})^{2}+\frac{x}{y}+1}$
Đặt $t=\frac{x}{y}$ => $A=\frac{2t^{2}-t+3}{t^{2}+t+1}$ (1)
Để (1) có nghiệm <=> $\Delta \geq 0$
<=> $\frac{11-\sqrt{52}}{3}\leq A\leq\frac{11+\sqrt{52}}{3} $
Vậy Max(A) = $\frac{11+\sqrt{52}}{3} $ .
Min(A) = $\frac{11-\sqrt{52}}{3} $ .
Bài 6: Cho $\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :
a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .
b. $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .
c. $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq \frac{9}{4}$ .
a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .
<=> $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq 1$ .
Xét $T=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .
<=> $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .
<=> $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .
=> $4\sin ^{2}\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+T=0$ . (1)
Phương trình (1) có nghiệm <=> $\Delta {}’ \geq 0$
<=> $4\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-4T\geq 0$
=> $T\leq \cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$
=> $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ . (đpcm)
b. Đặt X = $\cos A+\cos B+\cos C$
<=> $X=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^{2}\frac{C}{2}$
=> $2\sin ^{2}\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+X-1=0$ (2)
Phương trình (2) có nghiệm <=> $\Delta {}’ \geq 0$
<=> $\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-2(X-1)\geq 0$
<=> $X\leq 1+\frac{1}{2}\cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
=> $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ . (đpcm)
c. Đặt V = $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C$
<=> $V=\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+1-\cos ^{2}C$
<=> $V=2-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)-\cos ^{2}C$
<=> $V=2-\cos (A+B)\cos (A-B)-\cos ^{2}C$
<=> $V=2+\cos C.\cos (A+B)-\cos ^{2}C$
=> $\cos ^{2}C-\cos (A-B)\cos C+V-2=0$ (3)
Phương trình (3) có nghiệm <=> $\Delta \geq 0$
<=> $\cos ^{2}(A-B)-4(V-2)\geq 0$
<=> $V\leq 2+\frac{1}{4}\cos ^{2}(A-B)$
<=> $V\leq 2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ .
=> $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq \frac{9}{4}$ . (đpcm)
– – – – – Hết ! – – – –
Để lại một bình luận