I. Phương pháp giải
- Bước 1 : Đặt điều kiện xác định của phương trình .
- Bước 2 : Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai .
- Bước 3 : Biện luận tương quan số nghiệm giữa ẩn phụ với ẩn ban đầu trong phương trình sau khi biến đổi .Dùng công thức so sán nghiệm .
- Bước 4 : Kết luận nghiệm .
II. Bài tập áp dụng
Câu 1 :
Cho phương trình : $m^{2}+2(m+1)\sqrt{x}=x+5+4m$ (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Hướng dẫn chi tiết :
$m^{2}+2(m+1)\sqrt{x}=x+5+4m$ (1)
Đk : $x\geq 0$
Đặt $t=\sqrt{x},(t\geq 0)$ , (1) <=> $m^{2}+2(m+1)t=t^{2}+5+4m$
<=> $f(t)=t^{2}-2(m+1)t-m^{2}+4m+5=0$ (2)
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt => (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta {}’ >0& & \\ P\geq 0 & & \\ S>0 & & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}(m+1)^{2}-(5+4m-m^{2})>0& & \\ 5+4m-m^{2}\geq 0 & & \\ 2(m+1) >0& & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}2m^{2}-2m-4>0& & \\ 5+4m-m^{2}\geq 0 & & \\ m+1 >0& & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m<-1 // m>2& & \\ -1\leq m\leq 5 & & \\ m>-1& & \end{matrix}\right.$
<=> $2<m\leq 5$
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $2<m\leq 5$ .
Câu 2 :
Cho phương trình : $2\sqrt{2x-x^{2}}-2m(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})+2m^{2}-4=0$ (1)
Tim m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt .
Hướng dẫn chi tiết :
$2\sqrt{2x-x^{2}}-2m(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})+2m^{2}-4=0$ (1)
Đk : $0\leq x\leq 2$
Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=> 2\sqrt{2x-x^{2}}=t^{2}-2$
Ta có : $t{}’=\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{2x-x^{2}}}$
Để $t{}’=0<=>\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{2x-x^{2}}}=0$
<=> $\sqrt{2-x}=\sqrt{x}<=> x =1$
Bảng biến thiên :
=> $\sqrt{2}\leq t\leq 2$
(1) <=> $f(t)=t^{2}-2mt+2m^{2}-6=0$ (*)
Với $\sqrt{2}\leq t\leq 2$ , thì pt $t=\sqrt{2}+\sqrt{2-x}$ có hai nghiệm x phân biệt .
Do đó , để (1) có bốn nghiệm phân biệt => (2) có hai nghiệm phân biệt $t_{1},t_{2}$ thỏa mãn : $\sqrt{2}<t_{1}<t_{2}<2$
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta {}’>0 & & & \\ f(\sqrt{2})>0 & & & \\ f(2)>0 & & & \\ \sqrt{2}<\frac{S}{2}<2 & & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}6-m^{2}>0 & & & \\ 2m^{2}-2\sqrt{2}m-4>0 & & & \\ 2m^{2}-4m-2>0 & & & \\ \sqrt{2}<m<2 & & & \end{matrix}\right.$
Nhận xét : Hệ trên vô nghiệm .
Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu đề bài .
Câu 3 :
Cho phương trình : $2x\sqrt{4-x^{2}}-2(m-2)(x+\sqrt{4-x^{2}})+m^{2}=0$ (1)
Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt .
Hướng dẫn chi tiết :
$2x\sqrt{4-x^{2}}-2(m-2)(x+\sqrt{4-x^{2}})+m^{2}=0$ (1)
Đk : $-2\leq x\leq 2$
Đặt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}=> 2x\sqrt{4-x^{2}}=t^{2}-4$
=> $t{}’=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x}{\sqrt{4-x^{2}}}$
Để $t{}’=0<=>1-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x}{\sqrt{4-x^{2}}}=0$
<=> $\sqrt{4-x^{2}}=x=> x=\sqrt{2}$
Bảng biến thiên :
=> $-2\leq t\leq 2\sqrt{2}$
(1) <=> $f(t)=t^{2}-2(m-2)t+m^{2}-4=0$ (2)
+ Với $t=2\sqrt{2}$ hoặc $t\in [-2;2)$ , thì pt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}$ có đúng một nghiệm x .
+ Với $t\in [2;2\sqrt{2})$ , thì pt $t=x+\sqrt{4-x^{2}}$ có đúng hai nghiệm phân biệt x .
TH 1 : (2) có hai nghiệm $t_{1},t_{2}\in (-2;2)$
<=> $\left\{\begin{matrix}\Delta {}’>0 & & & \\ f(-2)>0 & & & \\ f(2)>0 & & & \\ -2<\frac{S}{2}<2 & & & \end{matrix}\right.$ <=> $2\sqrt{3}-2<m<2$
TH 2 : (2) có đúng 1 nghiệm $t\in (2;2\sqrt{2})$
+ Nếu là nghiệm kép $\in (2;2\sqrt{2})$ <=> $\left\{\begin{matrix}\Delta{}’=0 & \\ t_{0}=m-2\in (2;2\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m=2 & \\ m-2\in (2;2\sqrt{2}) & \end{matrix}\right.$
=> Hệ vô nghiệm .
+ Nếu là hai nghiệm phân biệt $t_{1},t_{2}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}2<t_{1}<2\sqrt{2}<t_{2} & \\ t_{1}<-2<2<t_{2}<2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$
Nhận xét : Hệ này vô nghiệm .
TH 3 : (2) có 1 nghiệm t = -2
<=> $m^{2}+4m-8=0<=> m=-2-2\sqrt{3}\vee m=2\sqrt{3}-2$
+ Với $ m=-2-2\sqrt{3}$ , thì (2) <=> $t^{2}+2(4+2\sqrt{3})t+12+8\sqrt{3}=0$
<=> Hoặc t = -2 ( t/mãn ) hoặc $t=-6-4\sqrt{3}$ ( loại )
+ Với $m=2\sqrt{3}-2$ , thì (2) <=> $t^{2}-2(2\sqrt{3}-4)t+12-8\sqrt{3}=0$
<=> Hoặc t = -2 hoặc $t=4\sqrt{3}-6$ ( t/mãn )
=> $m=2\sqrt{3}-2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài .
TH 4 : (2) có 1 nghiệm t = 2
=> $m^{2}-4m+8=0$ ( vô nghiệm )
TH 5 : (2) có 1 nghiệm $t=2\sqrt{2}$
=> $m^{2}-4\sqrt{2}m+4+8\sqrt{2}=0$ ( vô nghiệm )
Vậy các giá trị thỏa mãn là $2\sqrt{3}-2\leq m<2$ .
Trả lời