Chuyên đề Phương trình, hệ phương trình bậc nhất

Dạng 1:  Giải và biện luận phương trình bậc nhất .

I . Phương pháp giải

Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0    (1)
Bước 2 : Xét các trường hợp sau :

• TH 1 : a = 0 thế vào (1) và kiểm tra .
• TH 2 : $a\neq 0$  => $x=-\frac{b}{a}$ .

Bước 3 : Kết luận .

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Giải và biện luận phương trình  : 2x + 3m = mx + 2          (1)

Hướng dẫn :

Từ (1) <=> (2 – m )x = 2 – 3m                                           (2)

Nếu m = 2 thì  (2) <=> 0x = -4 (vô lý )  => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq 2$  thì (2) <=> $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .

Kết luận :

Với m = 2 => (1) vô nghiệm.

Với $m\neq 2$ => (1) có nghiệm duy nhất $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .

 

Bài 2 :

Giải và biện luận :  $\frac{2x+3m}{x^{2}-1}=\frac{m}{x+1}+\frac{2m-1}{x-1}$  (1)

Hướng dẫn: 

Đk : $x\neq \pm 1$

(1) <=> (3m – 3)x= 2m + 1             (2)

Nếu 3m – 3 = 0   <=> m = 1  => (2) vô nghiệm.

Nếu $3m – 3  \neq 0 <=> m\neq 1 $  thì (2) <=> $x=\frac{2m+1}{3m-3} $

Áp dụng đk : $x\neq \pm 1$  ta có : $x=\frac{2m+1}{3m-3}\neq \pm 1 $

<=>  $\left\{\begin{matrix}x\neq 4 & \\ x\neq \frac{2}{5} & \end{matrix}\right.$.

Kết luận :

Với m = 1, m = 4, m = $ \frac{2}{5}$  => (1) vô nghiệm.

Với $m\neq 1\wedge m\neq  4\wedge m\neq \frac{2}{5}$   =>  (1) có nghiệm duy nhất $x= \frac{2m+1}{3m-3}$ .

 

Bài 3:

Giải và biện luận phương trình :  $ \frac{2mx-3}{\sqrt{x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x}}$        (1)

Hướng dẫn : 

Đk : x > 0.

(1) <=> 2mx – 3 = x – m = (2m – 1)x = 3 – m                    (2)

Nếu $m=\frac{1}{2}$  => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq \frac{1}{2}$  thì (2) <=>  $x=\frac{2m-1}{3-m}$.

Với Đk : x > 0  <=>  $x=\frac{2m-1}{3-m}> 0 <=> \frac{1}{2}<m<3$ .

Vậy  $\frac{1}{2}<m<3$ .

 

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1 :

Giải và biện luận phương trình :  $\frac{2mx-3}{\sqrt{1-x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x+3}}$

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình  : 2(x + 2)+ 3(m – 1) = mx + 2 .

 

Dạng 2: Nghiệm của phương trình bậc nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I .Phương pháp giải

Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0    (1)
Bước 2 : Tìm điều kiện của a để (1) có nghiệm  $x_{0}$  sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước .

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Cho phương trình : (2m + 1)x – 3m + 2 = 3x + m .   (1)

Tìm m để phương trình có nghiệm $x\in (0;3)$ .

Hướng dẫn :

(1)  <=> (2m – 2)x = 4m – 2 <=> (m – 1)x = 2m – 1 .               (2)

Nếu m = 1 => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq 1$ thì (2) <=> $x=\frac{2m-1}{m-1}$ .

Theo bài ra : nghiệm $x\in (0;3)$  <=> $0<x=\frac{2m-1}{m-1}<3$

<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{2m-1}{m-1}>0 & \\ \frac{2m-1}{m-1} <3& \end{matrix}\right.$

<=> Hoặc $m<\frac{1}{2}$ hoặc m>2.

Vậy $m<\frac{1}{2}\vee m>2$ .

 

Bài 2:

Cho phương trình :  $\sqrt{x-1}\begin{bmatrix}(2m-3)x+m+(1-m)x-3\end{bmatrix}=0$       (1)

Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn:

(1) <=>  Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\  (2m-3)x+m+(1-m)x-3=0& \end{matrix}\right.$.

<=>      Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\  (m-2)x=3-m       (2)& \end{matrix}\right.$.

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt  => (2) có đúng 1 nghiệm > 1.

<=>  $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{3-m}{m-2}>1& \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{5-2m}{m-2}>0& \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ 2<m<\frac{5}{2}& \end{matrix}\right.$

Vậy để thỏa mãn yêu cầu  đề bài ta có $ 2<m<\frac{5}{2}$ .

 

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1:

Cho phương trình : (3m – 2)x – m = 4mx + 2m – 5

Tìm m để  phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 2:

Cho phương trình :  (2m – 1) + (3 – n)(x – 2) – 2m + n + 2 = 0.

Tìm m , n để phương trình có nghiệm đúng $\forall x$ .

 

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai

I . Phương pháp giải

Phương trình bậc hai có dạng :   $ax^{2}+bx+c=0  (a\neq 0)$         (1)

Xét a = 0   => (1) <=> bx + c = 0 . Biện luận phương trình bậc nhất.

Xét $ a\neq 0$  Ta tính $\Delta$  hoặc $\Delta{}’$.

 

• Nếu  $\Delta$ > 0  => (1) có 2 nghiệm phân biệt :  $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
• Nếu  $\Delta$ = 0  => (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$.
• Nếu  $\Delta$ < 0  => (1) vô nghiệm.

 

Chú ý : Nếu tính theo  $\Delta{}’$ thì công thức lấy nghiệm cũng tương tự.

Kết luận.

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Giải và biện luận phương trình : $(m-1)x^{2}+(2m-3)x+m+1=0$  ( theo tham số m ).       (1)

Hướng dẫn:

Với  m – 1 = 0 <=> m = 1 => (1) <=> – x + 2 = 0 <=> x = 2.

Với  $m-1\neq 0 <=> m\neq 1$  Ta có:

$\Delta =(2m-3)^{2}-4(m-1)(m+1)=13-12m$

Nếu  $\Delta$ > 0 => $m<\frac{13}{12}$

<=>  (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$

Nếu  $\Delta$ > 0  =>  $m=\frac{13}{12}$

<=>  (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=-\frac{2m-3}{2(m-1)}=5$

Nếu  $\Delta$ < 0  =>$m>\frac{13}{12}$  =>  (1) vô nghiệm.

Vậy m = 1 => (1) có nghiệm x = 2.

$m=\frac{13}{12}$  => (1)  có nghiệm x = 5.

$m>\frac{13}{12}$  => (1) vô nghiệm.

$m<\frac{13}{12}$  => (1) có 2 nghiệm phan biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$  .

 

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình  :  $\frac{x^{2}-2(a+1)x+2a+5}{x^{2}-3x+2}=0$   ( tham số a)  (1)

Hướng dẫn:

Đk : $x^{2}-3x+2\neq 0$  <=> $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$

(1) <=> $f(x)=x^{2}-2(a+1)x+2a+5=0$           (2)

Ta có :  $\Delta {}’=(a+1)^{2}-(2a+5)=a^{2}-4$

Nếu $\Delta {}'<0$  <=> – 2 < a < 2  <=> (2) vô nghiệm => (1) vô nghiệm .

Nếu $\Delta {}’=0$  <=> Hoặc a = 2 hoặc a = – 2  <=> (2) có nghiệm kép : x = a + 1.

Với a = 2 => x = 3. (nhận)

Với a = -2 => x = – 1 (nhận)

Nếu $\Delta {}’>0$ <=> | a | =2.

Vì (2) phải có 2 nghiệm thỏa mãn đk : $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$ nên :

<=>  $\left\{\begin{matrix}f(1)\neq 0 & \\ f(2) \neq 0& \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}4\neq 0 & \\ -2a+5 \neq 0& \end{matrix}\right.$

<=>  $a\neq \frac{5}{2}$.

=> 2 nghiệm là : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$

Kết luận :

Nếu | a | < 2 hoặc $a=\frac{5}{2}$  => (1) vô nghiệm.

Nếu $a=2\vee a=-2$  => (1) có nghiệm kép :  $x=-1\vee x=3$

Nếu  $|a| >2 \wedge a\neq \frac{5}{2}$  => (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$

 

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1 :

Giải và biện luận phương trình sau theo a , b   :

$x+\frac{1}{x}=\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$            (1)

 

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình :

$f(x)=mx^{2}+2(2m-1)x+m=0$    với  $-1\leq x\leq 1$            (1)